三角形の内角の和は180°なので2組の角が等しければのこりも等しい。
△ABCはAB=AC, ∠A=90°の直角二等辺三角形である。
辺AC上に点Dをとり, BDの延長線に
Cから垂線をおろして交点をEとする。
CEの延長とBAの延長の交点をFとするときBD=CFを証明せよ。
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直線は180°なので ∠BAD=90°なら∠CAFも90°
△ABDと△ECDで∠A=∠E=90°, ∠ADB=∠EDCなので, ∠ABD=∠ECD
【証明】
△ABDと△ACFにおいて
仮定より
AB=AC・・・①
直線は180°なので∠BAD=∠CAF=90°・・・②
三角形の内角の和は180°なので
∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB
∠ECD=180°-∠CED-∠EDC
ところが∠BAD=∠CED=90° , ∠ADB=∠EDC(対頂角)より
∠ABD=∠ECD
∠ECD=∠ACFなので
∠ABD=∠ACF・・・③
①, ②, ③より
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABD≡△ACF
合同な図形の対応する辺は等しいので BD=CF
【練習】
図でACは∠Aの二等分線, AE=AD, ∠ABE=∠ACDのとき
AB=ACとなることを証明せよ。
△ABEと△ACDにおいて
仮定よりAE=AD・・・①
∠ABE=∠ACD・・・②
ACが∠Aの二等分線なので ∠BAE=∠CAD・・・③
三角形の内角の和は180°なので
∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE・・・④
∠ADC=180°-∠CAD-∠ACD・・・⑤
②,③,④,⑤より
∠AEB = ∠ADC・・・⑥
①③⑥より 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABE≡△ACD
合同な図形の対応する辺は等しいので AB=AC