2年 平行と合同

内角の和を利用した証明

三角形の内角の和は180°なので2組の角が等しければのこりも等しい。
△ABCはAB=AC, ∠A=90°の直角二等辺三角形である。
辺AC上に点Dをとり, BDの延長線に
Cから垂線をおろして交点をEとする。
CEの延長とBAの延長の交点をFとするときBD=CFを証明せよ。
ABCDEF
解説動画 ≫ 直線は180°なので ∠BAD=90°なら∠CAFも90°
△ABDと△ECDで∠A=∠E=90°, ∠ADB=∠EDCなので, ∠ABD=∠ECD

【証明】
△ABDと△ACFにおいて
仮定より
AB=AC・・・①
直線は180°なので∠BAD=∠CAF=90°・・・②
三角形の内角の和は180°なので
∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB
∠ECD=180°-∠CED-∠EDC
ところが∠BAD=∠CED=90° , ∠ADB=∠EDC(対頂角)より
∠ABD=∠ECD
∠ECD=∠ACFなので
∠ABD=∠ACF・・・③
①, ②, ③より
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABD≡△ACF
合同な図形の対応する辺は等しいので BD=CF

【練習】

図でACは∠Aの二等分線, AE=AD, ∠ABE=∠ACDのとき
AB=ACとなることを証明せよ。
ABCDE
△ABEと△ACDにおいて
仮定よりAE=AD・・・①
∠ABE=∠ACD・・・②
ACが∠Aの二等分線なので ∠BAE=∠CAD・・・③
三角形の内角の和は180°なので
∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE・・・④
∠ADC=180°-∠CAD-∠ACD・・・⑤
②,③,④,⑤より
∠AEB = ∠ADC・・・⑥
①③⑥より 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABE≡△ACD
合同な図形の対応する辺は等しいので AB=AC

【類題で確かめる】全0問
【演習問題】(プリント形式)


© 2006- 2022 SyuwaGakuin All Rights Reserved pc