2年 平行と合同

合同の証明 角の二等分線

∠BACの二等分線がBCと交わる点をPとする。
AP⊥BCとなるとき,PがBCの中点となることを証明せよ。
ABCP
解説動画 ≫ 仮定を図に書き入れると
ABCP
APが共通なことを含めると
△ABPと△ACPの合同が証明できる。

【証明】
△ABPと△ACPにおいて
APは∠BACの二等分線なので
 ∠BAP = ∠CAP
 AP⊥BCなので
 ∠APB = ∠ACP = 90°
APは共通
よって1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABP≡△ACP
合同な図形の対応する辺は等しいので
BP=CP
よって PはBCの中点となる。

【練習】
APがBCの垂直二等分線のとき
APが∠BACの二等分線となることを証明せよ。
ABCP

△ABPと△ACPにおいて
APはBCの垂直二等分線なので
BP=CP
∠APB = ∠ACP = 90°
APは共通
よって2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABP≡△ACP
合同な図形の対応する角は等しいので
∠BAP=∠CAP
よってAPは∠BACの二等分線となる。

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