△ABCで∠Bの二等分線と辺ACの交点をDとして、
BD上にAD=AEとなる点Eをとる。
△ABE∽△CBDを証明せよ。
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二等辺三角形は2つの底角が等しい。を利用すると
∠AEBと∠CDBはともに 180°-△AEDの底角となるので等しい。
また角の二等分線で∠ABEと∠CBDが等しいので
2組の角がそれぞれ等しくなる。
【証明】
△ABEと△CBDにおいて
BDが∠ABCの二等分線なので
∠ABE=∠CBD・・・①
△AEDはAD=AEの二等辺三角形で
底角が等しいので∠AED=∠ADE・・・②
∠AEB=180°-∠AED・・・③
∠CDB=180°-∠ADE・・・④
②,③,④より
∠AEB=∠CDB・・・⑤
①,⑤より
2組の角がそれぞれ等しいので△ABE∽△CBD
【練習】
△ABCで∠BAC=∠BDAである。
また∠Bの二等分線がACと交わる点がE, ADと交わる点がFである。
△ABF∽△CBEとなることを証明せよ。
△ABFと△CBEにおいて
△ABEの内角の和は180°なので∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE・・・①
△CBFの内角の和は180°なので∠DFB=180°-∠BDF-∠DBF・・・②
BEは∠Bの二等分線なので ∠ABE=∠DBF・・・③
仮定より ∠BAE=∠BDF・・・④
①,②,③,④より ∠AEB=∠DFB・・・⑤
直線は180°なので
∠AFB=180°-∠DFB・・・⑥
∠CEB=180°-∠AEB・・・⑦
⑤,⑥,⑦より∠AFB=∠CEB・・・⑧
③,⑧より2組の角がそれぞれ等しいので△ABF∽△CBE
△ABF∽△CBE