2組の対辺がそれぞれ平行
2組の対辺がそれぞれ等しい。
2組の対角がそれぞれ等しい。
対角線がそれぞれの中点で交わる。
1組の対辺が平行でその長さが等しい。
△ABCでABの中点をM, ACの中点をNとする。
MNの延長上にMN=NDとなる点Dを取る。
四角形MBCDが平行四辺形になることを
証明せよ。
解説動画 ≫
まず, 四角形AMCDが平行四辺形になることを証明します。
その後 平行四辺形AMCDの性質を使って 四角形MBCDが平行四辺形になることを証明します。
NはACの中点, また MN=ND なので
「対角線がそれぞれの中点で交わる」という条件を満たすので AMCDは平行四辺形になります。
すると平行四辺形の性質から
AM=CD ですが, MはABの中点なので AM=MB でもあるので
線分AMと, CDと, MBはすべて同じ長さです。
つまり MB=CD となります。
また平行四辺形の性質から
AM//CD なので MB//CD となります。
これで 「一組の対辺が平行でその長さが等しい」という条件を満たすので
四角形MBCDは平行四辺形といえます。
【証明】
四角形AMCDにおいて
AN=CN(NはACの中点)
MN=ND(仮定)
よって対角線がそれぞれの中点で交わるので四角形AMCDは平行四辺形となる。… ①
四角形MBCDにおいて
①よりAM//CD(平行四辺形AMCDの対辺)・・・ ②
AM＝CD (平行四辺形AMCDの対辺)・・・ ③
AM=BM (MはABの中点)・・・ ④
② よりMB//CD・・・ ⑤
③、④ よりMB=CD・・・⑥
⑤、⑥ より1組の対辺が平行でその長さが等しいので四角形MBCDは平行四辺形となる。
四角形AMCDにおいて
AN=CN(NはACの中点)
MN=ND(仮定)
よって対角線がそれぞれの中点で交わるので四角形AMCDは平行四辺形となる。… ①
四角形MBCDにおいて
①よりAM//CD(平行四辺形AMCDの対辺)・・・ ②
AM＝CD (平行四辺形AMCDの対辺)・・・ ③
AM=BM (MはABの中点)・・・ ④
② よりMB//CD・・・ ⑤
③、④ よりMB=CD・・・⑥
⑤、⑥ より1組の対辺が平行でその長さが等しいので四角形MBCDは平行四辺形となる。
【練習】