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中1 方程式の利用 演習

文章題 連続する整数 ≫連続する2つの奇数があり、その和は56である。この2つの奇数を求めよ。
小さい方の奇数をxとする。
x+(x+2)=56
【答】27,29
【解説】奇数は1,3,5,7・・・と2ずつ大きくなるので連続する2つの奇数はx, x+2と表せる。
文章題 2けたの自然数 ≫一の位の数が十の位の数の半分より2大きい2けたの自然数がある。この2けたの自然数の一の位と十の位を入れ替えた数をもとの自然数にたすと154になる。もとの2けたの自然数を求めよ。
十の位の数をxとする。
12x+2+10x+10(12x+2)+x=154
【答】86
【解説】一の位の数が十の位の数の半分より2大きいので、十の位の数をxとすると一の位の数は12x+2となる。2けたの自然数は12x+2+10x、一の位と十の位を入れ替えるとx+10(12x+2)となる。
文章題 過不足の問題 ≫長いすがいくつかある。生徒全員が長いす1脚に5人ずつかけることにしたら、13人の生徒がかけられなかった。そこで、1脚に6人ずつかけたら、生徒が全く座らない長いす6脚と、1人しか座らない長いすが1脚できた。長いすの数を求めよ。
長いすの数をx脚とする。
5x+13=6(x-7)+1
【答】54脚
【解説】長いすの全数をxとすると5人ずつ座ると5x人座れるが、13人が座れないので生徒数は(5x+13)と表せる。
6人ずつ座ると全く座らない長いす6脚と1人だけのいすが1脚できたので、6人座る長いすの数は(x-7)である。よって6(x-7)+1が生徒数となる。2通りで表した生徒数を=で結んで方程式とする。
文章題 平均点の問題 ≫女子より男子のほうが2人多いクラスがある。このクラスの平均点が69点、男子の平均点が65点、女子の平均点が73.5点だった。クラスの男子の人数を求めよ。
男子の人数をx人とする。
65x+73.5(x-2)=69(2x-2)
【答】18人
【解説】女子より男子が2人多いので、男子がx人なら、女子は(x-2)人、クラスは(x+x-2)人である。
男子女子クラス
人数xx-22x-2
平均点6573.569
合計点65x73.5(x-2)69(2x-2)
男子の合計点 + 女子の合計点 = クラスの合計点から式をつくる。
文章題 速さ 追いつく1 ≫花子さんが家をでて毎分75mで歩いていった。その6分後に母が毎分100mで花子さんを追いかけた。母が花子さんに追いつくのは花子さんが家を出てから何分後か。
花子さんが家を出てからの時間をx分とする。
75x=100(x-6)
【答】24分後 
【解説】花子さんが家を出てからの時間をx分とすると、母は6分後に家を出ているので、母の時間は花子さんより6分短い(x-6)分である。道のり=時間×速さなので
花子
速さ(m/分)75100
時間(分)xx-6
道のり(m)75x100(x-6)
追いつくときは、道のりが同じなので
花子の歩いた道のり = 母の歩いた道のり で式をつくる。
文章題 速さ 往復 ≫2地点A、Bを往復する。行きは2時間かかり、帰りは行きの速さより毎時10kmだけおそくしたので2時間30分かかった。行きの速さは毎時何kmか。
行きの速さを毎時xkmとする。
2x=15060(x-10)
【答】毎時50km
【解説】帰りは行きより毎時10km遅いので、行きの速さをxkm/時とすると帰りは(x-10)km/時となる。2時間30分を時間に直すと15060時間, 道のり=時間×速さなので
 行き帰り
速さ(km/時)xx-10
時間(時間)215060
道のり(km)2x15060(x-10)
往復は行きと帰りの道のりが同じなので 行きの道のり = 帰りの道のりで式ができる。
文章題 速さが変わる問題 ≫たかし君の家からよしこさんの家まで1300mあり、途中に公園がある。ある日公園で待ち合わせて二人が同時に家を出た。たかし君は毎分85m、 よしこさんは毎分65mで歩いていったらたかし君のほうが2分早く着いた。たかし君の家から公園までの道のりを求めよ。
たかしくんの家から公園までをxmとする。
x85=1300-x65-2
【答】663m
【解説】たかし家〜公園〜よしこ家が1300mなのでたかし家〜公園をxmとするとよしこ家〜公園は(1300-x)mとなる。時間=道のり÷速さなので
 たかし家
〜公園
よしこ家
〜公園
速さ(m/分)8565
時間(分)x851300-x65
道のり(m)x1300-x
たかしが2分早くついたのでたかしの時間 = よしこの時間-2である。
文章題 池の周り ≫池の周りに1周800mの道がある。兄と妹が同時に同じ場所から出発して同じ方向に歩く。兄は分速96m, 妹は分速64mの場合、はじめて兄が妹を追い越すのは出発から何分後か。
出発してからの時間をx分とする。
96x-64x=800
【答】25分後
【解説】同じ方向に回る場合,速いほうが1周差をつけたときにはじめて遅い方を追い越す。
この場合,兄と妹の歩いた道のりの差が800mになったときである。
道のり=速さ×時間なので
兄の歩いた道のり = 96x
妹の歩いた道のり=64x
これらの差が1周分なので
96x-64x=800
これを解くと
x=25
文章題 割合 ≫ある中学校では全校生徒の48%が女子である。男子の人数は女子の人数より13人多い。この学校の全校生徒の人数を求めよ。
全校生徒数をx人とする
52100x-48100x=13
【答】325人
【解説】女子が48%なので100-48=52%が男子である。全校生徒をx人とすると女子は48100x、男子は52100xとなる。男子が女子より13人多いので男子の人数-女子の人数=13で式をつくる。
文章題 割引・割増 ≫ある品物を仕入れて、原価の48%の利益を見込んで定価をつけた。定価では売れなかったので900円引きで売った。品物1個につき原価の12%の利益になった。原価を求めよ。
原価をx円とする
148100x-900=112100x
【答】2500円
【解説】原価をx円とすると原価の48%の利益を見込んでつけた定価は148100x円である。そこから900円引きで売った売値は(148100x-900)円となる。
また、原価の12%の利益になったとの記述から売値は 112100xとも表せる。2通りであらわした売値を=で結んで式をつくる。
文章題 濃度 ≫ 12%の食塩水が90gある。これに3%の食塩水と4%の食塩水を混ぜた結果, 6%の食塩水が320gできた。3%の食塩水と4%の食塩水はそれぞれ何gずつ混ぜたのか求めよ。【式】3%の食塩水をxg混ぜるとする
 10.8+3100x+4100(230-x)=19.2
【答】3%が80g, 4%が150g
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小さい方の奇数をxとする。
x+(x+2)=56
【答】27,29
【解説】奇数は1,3,5,7・・・と2ずつ大きくなるので連続する2つの奇数はx, x+2と表せる。
十の位の数をxとする。
12x+2+10x+10(12x+2)+x=154
【答】86
【解説】一の位の数が十の位の数の半分より2大きいので、十の位の数をxとすると一の位の数は12x+2となる。2けたの自然数は12x+2+10x、一の位と十の位を入れ替えるとx+10(12x+2)となる。
長いすの数をx脚とする。
5x+13=6(x-7)+1
【答】54脚
【解説】長いすの全数をxとすると5人ずつ座ると5x人座れるが、13人が座れないので生徒数は(5x+13)と表せる。
6人ずつ座ると全く座らない長いす6脚と1人だけのいすが1脚できたので、6人座る長いすの数は(x-7)である。よって6(x-7)+1が生徒数となる。2通りで表した生徒数を=で結んで方程式とする。
男子の人数をx人とする。
65x+73.5(x-2)=69(2x-2)
【答】18人
【解説】女子より男子が2人多いので、男子がx人なら、女子は(x-2)人、クラスは(x+x-2)人である。
男子女子クラス
人数xx-22x-2
平均点6573.569
合計点65x73.5(x-2)69(2x-2)
男子の合計点 + 女子の合計点 = クラスの合計点から式をつくる。
花子さんが家を出てからの時間をx分とする。
75x=100(x-6)
【答】24分後 
【解説】花子さんが家を出てからの時間をx分とすると、母は6分後に家を出ているので、母の時間は花子さんより6分短い(x-6)分である。道のり=時間×速さなので
花子
速さ(m/分)75100
時間(分)xx-6
道のり(m)75x100(x-6)
追いつくときは、道のりが同じなので
花子の歩いた道のり = 母の歩いた道のり で式をつくる。
行きの速さを毎時xkmとする。
2x=15060(x-10)
【答】毎時50km
【解説】帰りは行きより毎時10km遅いので、行きの速さをxkm/時とすると帰りは(x-10)km/時となる。2時間30分を時間に直すと15060時間, 道のり=時間×速さなので
 行き帰り
速さ(km/時)xx-10
時間(時間)215060
道のり(km)2x15060(x-10)
往復は行きと帰りの道のりが同じなので 行きの道のり = 帰りの道のりで式ができる。
たかしくんの家から公園までをxmとする。
x85=1300-x65-2
【答】663m
【解説】たかし家〜公園〜よしこ家が1300mなのでたかし家〜公園をxmとするとよしこ家〜公園は(1300-x)mとなる。時間=道のり÷速さなので
 たかし家
〜公園
よしこ家
〜公園
速さ(m/分)8565
時間(分)x851300-x65
道のり(m)x1300-x
たかしが2分早くついたのでたかしの時間 = よしこの時間-2である。
出発してからの時間をx分とする。
96x-64x=800
【答】25分後
【解説】同じ方向に回る場合,速いほうが1周差をつけたときにはじめて遅い方を追い越す。
この場合,兄と妹の歩いた道のりの差が800mになったときである。
道のり=速さ×時間なので
兄の歩いた道のり = 96x
妹の歩いた道のり=64x
これらの差が1周分なので
96x-64x=800
これを解くと
x=25
全校生徒数をx人とする
52100x-48100x=13
【答】325人
【解説】女子が48%なので100-48=52%が男子である。全校生徒をx人とすると女子は48100x、男子は52100xとなる。男子が女子より13人多いので男子の人数-女子の人数=13で式をつくる。
原価をx円とする
148100x-900=112100x
【答】2500円
【解説】原価をx円とすると原価の48%の利益を見込んでつけた定価は148100x円である。そこから900円引きで売った売値は(148100x-900)円となる。
また、原価の12%の利益になったとの記述から売値は 112100xとも表せる。2通りであらわした売値を=で結んで式をつくる。
【式】3%の食塩水をxg混ぜるとする
 10.8+3100x+4100(230-x)=19.2
【答】3%が80g, 4%が150g
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