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中1 方程式の利用 演習

文章題 連続する整数 ≫連続する2つの奇数があり、その和は20である。この2つの奇数を求めよ。
小さい方の奇数をxとする。
x+(x+2)=20
【答】9,11
【解説】奇数は1,3,5,7・・・と2ずつ大きくなるので連続する2つの奇数はx, x+2と表せる。
文章題 2けたの自然数 ≫一の位の数が十の位の数の半分より2大きい2けたの自然数がある。この2けたの自然数の一の位と十の位を入れ替えた数をもとの自然数にたすと154になる。もとの2けたの自然数を求めよ。
十の位の数をxとする。
12x+2+10x+10(12x+2)+x=154
【答】86
【解説】一の位の数が十の位の数の半分より2大きいので、十の位の数をxとすると一の位の数は12x+2となる。2けたの自然数は12x+2+10x、一の位と十の位を入れ替えるとx+10(12x+2)となる。
文章題 過不足の問題 ≫あるクラスでクラス会をする。一人600円ずつ集めると1500円足りない。一人800円ずつ集めると3100円あまる。生徒の人数を求めよ。
生徒の人数をx人とする。
600x+1500=800x-3100
【答】23人
【解説】※(アメなど)「配る」ときと、この問題のように「集める」ときで「あまる」「足りない」の表し方が逆になることに注意。
600円ずつあつめて1500円足りないので、集めた600xにさらに1500円足して目標金額に達する。つまり目標金額は600x+1500である。
また、800円ずつ集めて3100円余るので、800xから余った分を引くと目標額になる。つまり800x-3100が目標金額である。
600x+1500と800x-3100はともに目標金額を表しているので=(等号)で結んで方程式となる。
文章題 平均点の問題 ≫37人のクラスで女子の平均身長が134.1㎝、男子の平均身長が160㎝、クラス全体の平均身長が146㎝でした。女子の人数を求めよ。
女子の人数をx人とする。
134.1x+160(37-x)=146×37
【答】20人
【解説】32人のクラスで、男子の人数がx人なら、女子の人数は(32-x)人と表せる。また、平均点×人数=合計点なので
男子女子クラス
人数x32-x32
平均点606864.5
合計点60x68(32-x)64.5×32
男子の合計点 + 女子の合計点 = クラスの合計点 から方程式をつくる
文章題 速さ 追いつく1 ≫太郎君が家を出発して毎分55mで歩いていった。太郎君が出発してから4分後に兄が毎分75mで追いかけた。兄が太郎君に追いつくのは、兄が家を出てから何分後か。
兄が家を出てからx分後に追いつくとする。
55(x+4)=75x
【答】11分後
【解説】兄が家を出てからの時間をx分とすると、兄は太郎くんの4分後に家を出ているので太郎くんの時間は兄より4分長い(x+4)分である。道のり=時間×速さなので
太郎
速さ(m/分)5575
時間(分)x+4x
道のり(m)55(x+4)75x
追いつくときは、道のりが同じなので
太郎の歩いた道のり = 兄の歩いた道のり で式をつくる。
文章題 速さ 往復 ≫2地点A、Bを往復する。行きは2時間かかり、帰りは行きの速さより毎時10kmだけおそくしたので2時間30分かかった。行きの速さは毎時何kmか。
行きの速さを毎時xkmとする。
2x=15060(x-10)
【答】毎時50km
【解説】帰りは行きより毎時10km遅いので、行きの速さをxkm/時とすると帰りは(x-10)km/時となる。2時間30分を時間に直すと15060時間, 道のり=時間×速さなので
 行き帰り
速さ(km/時)xx-10
時間(時間)215060
道のり(km)2x15060(x-10)
往復は行きと帰りの道のりが同じなので 行きの道のり = 帰りの道のりで式ができる。
文章題 速さが変わる問題 ≫家から駅まで2.1㎞ある。家を出てから途中までは毎分80mで歩き、残りは毎分65mで歩いた。 家を出てから30分で駅に着いた。速さを変えたのは家を出てから何分後か。
家を出てx分後に速さを変えたとする。
80x+65(30-x)=2100
【答】10分後
文章題 池の周り ≫池の周りに1周2000mの道がある。姉と弟が同時に同じ場所から出発して同じ方向に歩く。姉は時速3.6km, 弟は時速2.4kmの場合、はじめて姉が弟を追い越すのは出発から何分後か。
出発してからの時間をx分とする。
60x-40x=2000
【答】100分後
【解説】求める時間を分にすると,速さの単位を時速kmから分速mに直す必要がある。時速3.6kmは3.6×1000÷60=60 分速60m,時速2.4kmは2.4×1000÷60=40 分速40m
同じ方向に回る場合,速いほうが1周差をつけたときにはじめて遅い方を追い越す。
この場合,姉と弟の歩いた道のりの差が2000mになったときである。
道のり=速さ×時間なので
姉の歩いた道のり =60x
弟の歩いた道のり= 40x
これらの差が1周分なので
60x-40x=2000
これを解くと
x=100
文章題 割合 ≫姉と弟がアメを持っている。姉は弟に比べて18個多く持っていた。姉が弟に自分のアメの36%をあげたので二人のアメの数がちょうど同じになった。 アメは全部で何個あったか。
姉が持っていたアメをx個とする。
64100x=36100x+x-18
【答】32個
【解説】求めるものは全部のアメの数だが、割合36%のもとになる数が姉がはじめに持っていた数なのでそれをxにする。
姉がxだと,弟はそれより18個少ないので(x-18)個, 姉から36%減らして弟に36%増やす。
はじめのアメの数xx-18
アメの増減- 36100x+ 36100x
最終的なアメの数x- 36100 xx-18 + 36100x

最終的に姉と弟のアメの数が同じになったので =で結んで方程式にする。
文章題 割引・割増 ≫ある品物を仕入れて、原価の48%の利益を見込んで定価をつけた。定価では売れなかったので900円引きで売った。品物1個につき原価の12%の利益になった。原価を求めよ。
原価をx円とする
148100x-900=112100x
【答】2500円
【解説】原価をx円とすると原価の48%の利益を見込んでつけた定価は148100x円である。そこから900円引きで売った売値は(148100x-900)円となる。
また、原価の12%の利益になったとの記述から売値は 112100xとも表せる。2通りであらわした売値を=で結んで式をつくる。
文章題 濃度 ≫ 5%の食塩水200gと8%の食塩水をいくらか混ぜると6%の食塩水になった。8%の食塩水は何g混ぜたか。 【式】8%の食塩水をxgとする。
  10+8100x=6100(200+x)
【答】100g
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小さい方の奇数をxとする。
x+(x+2)=20
【答】9,11
【解説】奇数は1,3,5,7・・・と2ずつ大きくなるので連続する2つの奇数はx, x+2と表せる。
十の位の数をxとする。
12x+2+10x+10(12x+2)+x=154
【答】86
【解説】一の位の数が十の位の数の半分より2大きいので、十の位の数をxとすると一の位の数は12x+2となる。2けたの自然数は12x+2+10x、一の位と十の位を入れ替えるとx+10(12x+2)となる。
生徒の人数をx人とする。
600x+1500=800x-3100
【答】23人
【解説】※(アメなど)「配る」ときと、この問題のように「集める」ときで「あまる」「足りない」の表し方が逆になることに注意。
600円ずつあつめて1500円足りないので、集めた600xにさらに1500円足して目標金額に達する。つまり目標金額は600x+1500である。
また、800円ずつ集めて3100円余るので、800xから余った分を引くと目標額になる。つまり800x-3100が目標金額である。
600x+1500と800x-3100はともに目標金額を表しているので=(等号)で結んで方程式となる。
女子の人数をx人とする。
134.1x+160(37-x)=146×37
【答】20人
【解説】32人のクラスで、男子の人数がx人なら、女子の人数は(32-x)人と表せる。また、平均点×人数=合計点なので
男子女子クラス
人数x32-x32
平均点606864.5
合計点60x68(32-x)64.5×32
男子の合計点 + 女子の合計点 = クラスの合計点 から方程式をつくる
兄が家を出てからx分後に追いつくとする。
55(x+4)=75x
【答】11分後
【解説】兄が家を出てからの時間をx分とすると、兄は太郎くんの4分後に家を出ているので太郎くんの時間は兄より4分長い(x+4)分である。道のり=時間×速さなので
太郎
速さ(m/分)5575
時間(分)x+4x
道のり(m)55(x+4)75x
追いつくときは、道のりが同じなので
太郎の歩いた道のり = 兄の歩いた道のり で式をつくる。
行きの速さを毎時xkmとする。
2x=15060(x-10)
【答】毎時50km
【解説】帰りは行きより毎時10km遅いので、行きの速さをxkm/時とすると帰りは(x-10)km/時となる。2時間30分を時間に直すと15060時間, 道のり=時間×速さなので
 行き帰り
速さ(km/時)xx-10
時間(時間)215060
道のり(km)2x15060(x-10)
往復は行きと帰りの道のりが同じなので 行きの道のり = 帰りの道のりで式ができる。
家を出てx分後に速さを変えたとする。
80x+65(30-x)=2100
【答】10分後
出発してからの時間をx分とする。
60x-40x=2000
【答】100分後
【解説】求める時間を分にすると,速さの単位を時速kmから分速mに直す必要がある。時速3.6kmは3.6×1000÷60=60 分速60m,時速2.4kmは2.4×1000÷60=40 分速40m
同じ方向に回る場合,速いほうが1周差をつけたときにはじめて遅い方を追い越す。
この場合,姉と弟の歩いた道のりの差が2000mになったときである。
道のり=速さ×時間なので
姉の歩いた道のり =60x
弟の歩いた道のり= 40x
これらの差が1周分なので
60x-40x=2000
これを解くと
x=100
姉が持っていたアメをx個とする。
64100x=36100x+x-18
【答】32個
【解説】求めるものは全部のアメの数だが、割合36%のもとになる数が姉がはじめに持っていた数なのでそれをxにする。
姉がxだと,弟はそれより18個少ないので(x-18)個, 姉から36%減らして弟に36%増やす。
はじめのアメの数xx-18
アメの増減- 36100x+ 36100x
最終的なアメの数x- 36100 xx-18 + 36100x

最終的に姉と弟のアメの数が同じになったので =で結んで方程式にする。
原価をx円とする
148100x-900=112100x
【答】2500円
【解説】原価をx円とすると原価の48%の利益を見込んでつけた定価は148100x円である。そこから900円引きで売った売値は(148100x-900)円となる。
また、原価の12%の利益になったとの記述から売値は 112100xとも表せる。2通りであらわした売値を=で結んで式をつくる。
【式】8%の食塩水をxgとする。
  10+8100x=6100(200+x)
【答】100g
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