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中1 方程式の利用 演習

文章題 連続する整数 ≫連続する2つの偶数があり、その和は22である。この2つの偶数を求めよ。
小さい方の偶数をxとする。
x+(x+2)=22
【答】10,12
【解説】偶数は2,4,6,・・・と2ずつ大きくなるので、連続する2つの偶数はx, x+2と表せる。
文章題 2けたの自然数 ≫一の位の数と十の位の数との和が13となる2けたの自然数がある。この自然数の十の位と一の位の数を入れ替えた数はもとの数より45大きくなる。もとの2けたの自然数を求めよ。
一の位の数をxとする。
x+10(13-x)+45=10x+13-x
【答】49
【解説】一の位と十の位の和が13なので、一の位がxなら十の位は(13-x)である。
2けたの自然数はx + 10(13-x)となり、一の位と十の位を入れ替えると10x + (13-x)となる。
文章題 過不足の問題 ≫何人かの子どもにアメを配る。一人に5個ずつ配ると14個あまり、一人に6個ずつ配ると10個足りない。アメの数を求めよ。
子どもの人数をxとする。
5x+14=6x-10
【答】134個
【解説】求めるものはアメの数だが、こどもの人数をxとしたほうが式がたてやすい。
一人の
個数
56
人数xx
配る数5x6x
過不足+14-10
アメの
全個数
5x+146x-10
アメの全個数は同じものを表すので=(等号)で結べば方程式になる。
方程式を解いてx=24となるが、求めるものがアメのかずなので 5x+14に代入して 5×24+14=134
よって答が134個となる。
文章題 平均点の問題 ≫ある学校の1年生は女子より男子のほうが10人多い。1年生全体の平均点が70点、男子の平均点が65点、女子の平均点が76点だった。男子の人数を求めよ。
男子の人数をx人とする。
65x+76(x-10)=70(2x-10)
【答】60人
【解説】女子より男子が2人多いので、男子がx人なら、女子は(x-2)人、クラスは(x+x-2)人である。
男子女子クラス
人数xx-22x-2
平均点6573.569
合計点65x73.5(x-2)69(2x-2)
男子の合計点 + 女子の合計点 = クラスの合計点から式をつくる。
文章題 速さ 追いつく1 ≫花子さんが家をでて毎分75mで歩いていった。その6分後に母が毎分100mで花子さんを追いかけた。母が花子さんに追いつくのは花子さんが家を出てから何分後か。
花子さんが家を出てからの時間をx分とする。
75x=100(x-6)
【答】24分後 
【解説】花子さんが家を出てからの時間をx分とすると、母は6分後に家を出ているので、母の時間は花子さんより6分短い(x-6)分である。道のり=時間×速さなので
花子
速さ(m/分)75100
時間(分)xx-6
道のり(m)75x100(x-6)
追いつくときは、道のりが同じなので
花子の歩いた道のり = 母の歩いた道のり で式をつくる。
文章題 速さ 往復 ≫A町からB町までの間を往復した。行きは時速40km、帰りは時速30kmで往復にかかった時間は4時間40分だった。A町からB町までの道のりは何kmか。
A町からB町までの道のりをxkmとする。
x40+x30=28060
【答】80km
【解説】往復は行きと帰りの道のりの長さは同じなので両方xkm,時間 = 道のり÷速さ より
 行き帰り
速さ(km/時)4030
時間(時間)x40x30
道のり(km)xx
合計時間が4時間40分を時間に直すと28060なので、行きの時間+帰りの時間 =28060 となる。
文章題 速さが変わる問題 ≫たかし君の家からよしこさんの家まで1300mあり、途中に公園がある。ある日公園で待ち合わせて二人が同時に家を出た。たかし君は毎分85m、 よしこさんは毎分65mで歩いていったらたかし君のほうが2分早く着いた。たかし君の家から公園までの道のりを求めよ。
たかしくんの家から公園までをxmとする。
x85=1300-x65-2
【答】663m
【解説】たかし家〜公園〜よしこ家が1300mなのでたかし家〜公園をxmとするとよしこ家〜公園は(1300-x)mとなる。時間=道のり÷速さなので
 たかし家
〜公園
よしこ家
〜公園
速さ(m/分)8565
時間(分)x851300-x65
道のり(m)x1300-x
たかしが2分早くついたのでたかしの時間 = よしこの時間-2である。
文章題 池の周り ≫湖の周りに1周40kmの道がある。兄と弟が自転車で回る。兄の速さは時速12km, 弟の速さは時速8kmである。二人が同時に同じ場所から出発して反対方向に回る場合、二人がはじめて出会うのは出発から何時間後か。
出発してからの時間をx時間とする。
12x+8x=40
【答】2時間後
【解説】反対方向に回る場合, 二人の走った道のりの和が1周の道のりに等しくなるときはじめて出会う。
道のり=速さ×時間なので
兄の走った道のり = 12x
弟の走った道のり = 8x
これらの和が1周の道のりに等しいので
12x+8x=40
これを解くとx=2
文章題 割合 ≫はじめ姉がいくつかのアメを持っていた。妹は持っていなかったので、姉は自分の持っていたアメの4割を妹にあげた。姉は残ったアメのうち3個を食べ、妹がもらったアメの13を食べると姉の持っているアメの数が妹のアメの数のちょうど2倍にになった。姉がはじめに持っていたアメの数を求めよ。
はじめに姉が持っていたアメの数をx個とする。
610x-3=23×410x×2
【答】45個
【解説】姉がはじめに持っていたアメの数をx個とする。妹は0個。姉が自分の4割を妹にあげたら姉は610x, 妹は410xそこから姉は3個減らし、妹は23となる。
はじめx0移動後610x410x食後610x-323×410x
食べた後、姉のアメの数が妹の2倍なので 姉のアメの数 = 妹のアメの数×2として方程式ができる。
文章題 割引・割増 ≫定価750円の商品を定価の30%引で売ったが、まだ原価の5%の利益があった。この商品の原価を求めよ。
原価をx円とする
750×70100=105100x
【答】500円
文章題 濃度 ≫ 2%の食塩水と11%の食塩水を混ぜて9%の食塩水を540g作りたい。2%の食塩水と11%の食塩水はそれぞれ何gずつ混ぜればよいか。 【式】2%の食塩水をxg混ぜるとする
  2100x+11100(540-x)=48.6
【答】2%が120g, 11%が420g
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小さい方の偶数をxとする。
x+(x+2)=22
【答】10,12
【解説】偶数は2,4,6,・・・と2ずつ大きくなるので、連続する2つの偶数はx, x+2と表せる。
一の位の数をxとする。
x+10(13-x)+45=10x+13-x
【答】49
【解説】一の位と十の位の和が13なので、一の位がxなら十の位は(13-x)である。
2けたの自然数はx + 10(13-x)となり、一の位と十の位を入れ替えると10x + (13-x)となる。
子どもの人数をxとする。
5x+14=6x-10
【答】134個
【解説】求めるものはアメの数だが、こどもの人数をxとしたほうが式がたてやすい。
一人の
個数
56
人数xx
配る数5x6x
過不足+14-10
アメの
全個数
5x+146x-10
アメの全個数は同じものを表すので=(等号)で結べば方程式になる。
方程式を解いてx=24となるが、求めるものがアメのかずなので 5x+14に代入して 5×24+14=134
よって答が134個となる。
男子の人数をx人とする。
65x+76(x-10)=70(2x-10)
【答】60人
【解説】女子より男子が2人多いので、男子がx人なら、女子は(x-2)人、クラスは(x+x-2)人である。
男子女子クラス
人数xx-22x-2
平均点6573.569
合計点65x73.5(x-2)69(2x-2)
男子の合計点 + 女子の合計点 = クラスの合計点から式をつくる。
花子さんが家を出てからの時間をx分とする。
75x=100(x-6)
【答】24分後 
【解説】花子さんが家を出てからの時間をx分とすると、母は6分後に家を出ているので、母の時間は花子さんより6分短い(x-6)分である。道のり=時間×速さなので
花子
速さ(m/分)75100
時間(分)xx-6
道のり(m)75x100(x-6)
追いつくときは、道のりが同じなので
花子の歩いた道のり = 母の歩いた道のり で式をつくる。
A町からB町までの道のりをxkmとする。
x40+x30=28060
【答】80km
【解説】往復は行きと帰りの道のりの長さは同じなので両方xkm,時間 = 道のり÷速さ より
 行き帰り
速さ(km/時)4030
時間(時間)x40x30
道のり(km)xx
合計時間が4時間40分を時間に直すと28060なので、行きの時間+帰りの時間 =28060 となる。
たかしくんの家から公園までをxmとする。
x85=1300-x65-2
【答】663m
【解説】たかし家〜公園〜よしこ家が1300mなのでたかし家〜公園をxmとするとよしこ家〜公園は(1300-x)mとなる。時間=道のり÷速さなので
 たかし家
〜公園
よしこ家
〜公園
速さ(m/分)8565
時間(分)x851300-x65
道のり(m)x1300-x
たかしが2分早くついたのでたかしの時間 = よしこの時間-2である。
出発してからの時間をx時間とする。
12x+8x=40
【答】2時間後
【解説】反対方向に回る場合, 二人の走った道のりの和が1周の道のりに等しくなるときはじめて出会う。
道のり=速さ×時間なので
兄の走った道のり = 12x
弟の走った道のり = 8x
これらの和が1周の道のりに等しいので
12x+8x=40
これを解くとx=2
はじめに姉が持っていたアメの数をx個とする。
610x-3=23×410x×2
【答】45個
【解説】姉がはじめに持っていたアメの数をx個とする。妹は0個。姉が自分の4割を妹にあげたら姉は610x, 妹は410xそこから姉は3個減らし、妹は23となる。
はじめx0移動後610x410x食後610x-323×410x
食べた後、姉のアメの数が妹の2倍なので 姉のアメの数 = 妹のアメの数×2として方程式ができる。
原価をx円とする
750×70100=105100x
【答】500円
【式】2%の食塩水をxg混ぜるとする
  2100x+11100(540-x)=48.6
【答】2%が120g, 11%が420g
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