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中1 方程式の利用 演習

文章題 連続する整数 ≫連続する2つの整数があり、その和は-29である。この2つの整数を求めよ。
小さい方の整数をxとする。
x+(x+1)=-29
【答】-15,-14
【解説】整数は1ずつ大きくなるので、xの次はx+1である。よって連続する2つの自然数はxとx+1と表せる。
文章題 2けたの自然数 ≫一の位の数が十の位の数より4大きい2けたの自然数がある。この自然数の一の位の数と十の位の数を入れ替えた数をもとの数にたすと110になる。もとの自然数を求めよ。
一の位の数をxとする。
x+10(x-4)+10x+x-4=110
【答】37
【解説】一の位が十の位より4大きいので、一の位がxなら十の位は(x-4)である。
2けたの自然数はx + 10(x-4)となり、一の位と十の位を入れ替えると10x + (x-4)となる。
文章題 過不足の問題 ≫何人かの子どもにアメを配る。一人に5個ずつ配ると14個あまり、一人に6個ずつ配ると10個足りない。アメの数を求めよ。
子どもの人数をxとする。
5x+14=6x-10
【答】134個
【解説】求めるものはアメの数だが、こどもの人数をxとしたほうが式がたてやすい。
一人の
個数
56
人数xx
配る数5x6x
過不足+14-10
アメの
全個数
5x+146x-10
アメの全個数は同じものを表すので=(等号)で結べば方程式になる。
方程式を解いてx=24となるが、求めるものがアメのかずなので 5x+14に代入して 5×24+14=134
よって答が134個となる。
文章題 平均点の問題 ≫35人のクラスがある。男子の平均点が63点、女子の平均点が70点で、クラス全体の平均点が66.4点だった。男子の人数を求めよ。
男子の人数をx人とする。
63x+70(35-x)=66.4×35
【答】18人
【解説】32人のクラスで、男子の人数がx人なら、女子の人数は(32-x)人と表せる。また、平均点×人数=合計点なので
男子女子クラス
人数x32-x32
平均点606864.5
合計点60x68(32-x)64.5×32
男子の合計点 + 女子の合計点 = クラスの合計点 から方程式をつくる
文章題 速さ 追いつく1 ≫花子さんが家をでて毎分75mで歩いていった。その6分後に母が毎分100mで花子さんを追いかけた。母が花子さんに追いつくのは花子さんが家を出てから何分後か。
花子さんが家を出てからの時間をx分とする。
75x=100(x-6)
【答】24分後 
【解説】花子さんが家を出てからの時間をx分とすると、母は6分後に家を出ているので、母の時間は花子さんより6分短い(x-6)分である。道のり=時間×速さなので
花子
速さ(m/分)75100
時間(分)xx-6
道のり(m)75x100(x-6)
追いつくときは、道のりが同じなので
花子の歩いた道のり = 母の歩いた道のり で式をつくる。
文章題 速さ 往復 ≫A町からB町を往復した。行きは毎時4㎞で帰りは毎時3㎞で歩いたら、帰りのほうが13分多くかかった。行きにかかった時間は何分か。
行きにかかった時間をx分とする。
x60=3×x+1360
【答】39分
【解説】行きの時間をx分とすると帰りの時間は(x+13)分、速さが毎時kmで表されているので分を時間に直すと, x分はx60時間, (x+13)分は x+1360 時間である。道のり =時間×速さなので
 行き帰り
速さ(km/時)43
時間(時間)x60x+1360
道のり(km)x60x+1360
往復は行きと帰りの道のりが同じなので 行きの道のり=帰りの道のり で式をつくる。
文章題 速さが変わる問題 ≫A君の家とB君の家は1.5㎞離れている。A君は9時に家を出てB君の家に向かった。B君は同じ道を9時5分に出てA君の家に向かった。A君が時速4㎞、B君が時速3㎞のとき二人の出会った時刻は9時何分か。
A君が家を出てからx分後に出会ったとする。
460x+360(x-5)=32
【答】9時15分
文章題 池の周り ≫湖の周りを1周する道がある。A君とB君がこの道を自転車で走る。同じ地点から同時に出発して反対方向に回ると15分後にはじめて出会い, 同じ方向に回ると60分でA君がB君をはじめて追い越す。二人は常に一定の速さで走るものとし, A君の速さはB君の速さより毎分80mだけ速い。このとき, A君とB君の速さはそれぞれ毎分何mか求めよ。
B君の速さを毎分xmとする。
15(x+80)+15x=60(x+80)-60x
【答】A君毎分200m, B君毎分120m
【解説】A君はB君より毎分80mだけ速いので,A君の速さは 毎分(x+80)m
反対方向に回る場合, 二人の走った道のりの和が1周の道のりに等しくなるときはじめて出会う。
道のり=速さ×時間より
15(x+80)+15x=1周の道のり
同じ方向に回る場合,速いほうが1周差をつけたときにはじめて遅い方を追い越すので
60(x+80)-60x=1周のみちのり
15(x+80)+15xと60(x+80)-60xはともに1周の道のりを表すので = で結ぶと
15(x+80)+15x=60(x+80)-60xは
これを解くとx=120これがB君の速さなので A君の速さは 120+80=200
文章題 割合 ≫全校生徒460人のうち、自転車通学の割合は男子が全男子数の3割で、女子は全女子数の2割である。 自転車通学の人数は男女合わせて116人である。この学校の全男子数を求めよ。
全男子数をx人とする
310x+210(460-x)=116
【答】240人
【解説】全男子数をx人とすると、全女子数は(460-x)人である。
自転車通学の男子は310x、女子は210(460-x)となる。
これらの合計が116となることから方程式をつくる。
文章題 割引・割増 ≫原価900円の商品に定価をつけて、定価の4割引きで売ってもまだ原価の25%の利益があるようにしたい。定価をいくらにすればよいか。
定価をx円とする
610x=125100×900
【答】1875円
文章題 濃度 ≫定価800円の商品を定価の1割引で売ったが、まだ原価の44%の利益があった。この商品の原価を求めよ。
原価をx円とする
800×910=144100x
【答】500円
解答 表示
小さい方の整数をxとする。
x+(x+1)=-29
【答】-15,-14
【解説】整数は1ずつ大きくなるので、xの次はx+1である。よって連続する2つの自然数はxとx+1と表せる。
一の位の数をxとする。
x+10(x-4)+10x+x-4=110
【答】37
【解説】一の位が十の位より4大きいので、一の位がxなら十の位は(x-4)である。
2けたの自然数はx + 10(x-4)となり、一の位と十の位を入れ替えると10x + (x-4)となる。
子どもの人数をxとする。
5x+14=6x-10
【答】134個
【解説】求めるものはアメの数だが、こどもの人数をxとしたほうが式がたてやすい。
一人の
個数
56
人数xx
配る数5x6x
過不足+14-10
アメの
全個数
5x+146x-10
アメの全個数は同じものを表すので=(等号)で結べば方程式になる。
方程式を解いてx=24となるが、求めるものがアメのかずなので 5x+14に代入して 5×24+14=134
よって答が134個となる。
男子の人数をx人とする。
63x+70(35-x)=66.4×35
【答】18人
【解説】32人のクラスで、男子の人数がx人なら、女子の人数は(32-x)人と表せる。また、平均点×人数=合計点なので
男子女子クラス
人数x32-x32
平均点606864.5
合計点60x68(32-x)64.5×32
男子の合計点 + 女子の合計点 = クラスの合計点 から方程式をつくる
花子さんが家を出てからの時間をx分とする。
75x=100(x-6)
【答】24分後 
【解説】花子さんが家を出てからの時間をx分とすると、母は6分後に家を出ているので、母の時間は花子さんより6分短い(x-6)分である。道のり=時間×速さなので
花子
速さ(m/分)75100
時間(分)xx-6
道のり(m)75x100(x-6)
追いつくときは、道のりが同じなので
花子の歩いた道のり = 母の歩いた道のり で式をつくる。
行きにかかった時間をx分とする。
x60=3×x+1360
【答】39分
【解説】行きの時間をx分とすると帰りの時間は(x+13)分、速さが毎時kmで表されているので分を時間に直すと, x分はx60時間, (x+13)分は x+1360 時間である。道のり =時間×速さなので
 行き帰り
速さ(km/時)43
時間(時間)x60x+1360
道のり(km)x60x+1360
往復は行きと帰りの道のりが同じなので 行きの道のり=帰りの道のり で式をつくる。
A君が家を出てからx分後に出会ったとする。
460x+360(x-5)=32
【答】9時15分
B君の速さを毎分xmとする。
15(x+80)+15x=60(x+80)-60x
【答】A君毎分200m, B君毎分120m
【解説】A君はB君より毎分80mだけ速いので,A君の速さは 毎分(x+80)m
反対方向に回る場合, 二人の走った道のりの和が1周の道のりに等しくなるときはじめて出会う。
道のり=速さ×時間より
15(x+80)+15x=1周の道のり
同じ方向に回る場合,速いほうが1周差をつけたときにはじめて遅い方を追い越すので
60(x+80)-60x=1周のみちのり
15(x+80)+15xと60(x+80)-60xはともに1周の道のりを表すので = で結ぶと
15(x+80)+15x=60(x+80)-60xは
これを解くとx=120これがB君の速さなので A君の速さは 120+80=200
全男子数をx人とする
310x+210(460-x)=116
【答】240人
【解説】全男子数をx人とすると、全女子数は(460-x)人である。
自転車通学の男子は310x、女子は210(460-x)となる。
これらの合計が116となることから方程式をつくる。
定価をx円とする
610x=125100×900
【答】1875円
原価をx円とする
800×910=144100x
【答】500円
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