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中1 方程式の利用 演習

文章題 連続する整数 ≫連続する2つの整数があり、その和は25である。この2つの整数を求めよ。
小さい方の整数をxとする。
x+(x+1)=25
【答】12,13
【解説】整数は1ずつ大きくなるので、xの次はx+1である。よって連続する2つの自然数はxとx+1と表せる。
文章題 2けたの自然数 ≫一の位の数と十の位の数との和が12となる2けたの自然数がある。この自然数の十の位と一の位の数を入れ替えた数はもとの数より18大きくなる。もとの2けたの自然数を求めよ。
一の位の数をxとする。
x+10(12-x)+18=10x+12-x
【答】57
【解説】一の位と十の位の和が12なので、一の位がxなら十の位は(12-x)である。
2けたの自然数はx + 10(12-x)となり、一の位と十の位を入れ替えると10x + (12-x)となる。
文章題 過不足の問題 ≫子どもたちにアメを配る。一人に8個ずつ配ると22個あまり、一人に11個ずつ配ると29個足りない。アメの数を求めよ。
子どもの人数をx人とする。
8x+22=11x-29
【答】158個
【解説】求めるものはアメの数だが、子どもの人数をxにしたほうが式がたてやすい。
x人に8個ずつ配ると8x, 22個あまるのでアメの数は8x+22
x人に11個ずつ配ると11x, 29個足りないのでアメの数は11x-29
8x+22と11x-29はどちらもアメの数を表しているので=(等号)で結べる。
8x+22 = 11x-29
これを解くとx=17
求めるものはアメの数なので 8x+22に代入して 8×17+22=158
文章題 平均点の問題 ≫32人のクラスがある。男子の平均点が60点、女子の平均点が68点で、クラス全体の平均点が64.5点だった。男子の人数を求めよ。
男子の人数をx人とする。
60x+68(32-x)=64.5×32
【答】14人
【解説】32人のクラスで、男子の人数がx人なら、女子の人数は(32-x)人と表せる。また、平均点×人数=合計点なので
男子女子クラス
人数x32-x32
平均点606864.5
合計点60x68(32-x)64.5×32
男子の合計点 + 女子の合計点 = クラスの合計点 から方程式をつくる
文章題 速さ 追いつく1 ≫花子さんが家をでて毎分45mで歩いていった。その10分後に母が毎分120mで花子さんを追いかけた。母が花子さんに追いつくのは花子さんが家を出てから何分後か。
花子さんが家を出てからの時間をx分とする。
45x=120(x-10)
【答】16分後 
【解説】花子さんが家を出てからの時間をx分とすると、母は10分後に家を出ているので、母の時間は花子さんより10分短い(x-10)分である。道のり=時間×速さなので
花子
速さ(m/分)45120
時間(分)xx-10
道のり(m)45x120(x-10)
追いつくときは、道のりが同じなので
花子の歩いた道のり = 母の歩いた道のり で式をつくる。
文章題 速さ 往復 ≫A地点とB地点の間を往復した。行きは毎分80m、帰りは毎分75mで歩いたら帰りのほうが4分多くかかった。AB間の道のりを求めよ。
AB間の道のりをxmとする。
x75-x80=4
【答】4800m
【解説】往復では行きと帰りの道のりが同じなので、両方x ,時間 =道のり÷速さなので
 行き帰り
速さ(m/分)8075
時間(分)x80x75
道のり(m)xx
帰りのほうが4分長いので 帰りの時間 – 行きの時間 =4 となる。
文章題 速さが変わる問題 ≫たかし君の家からよしこさんの家まで930mあり、途中に公園がある。ある日公園で待ち合わせて二人が同時に家を出た。たかし君は毎分75m、 よしこさんは毎分55mで歩いていったらよしこさんのほうが2分早く着いた。たかし君の家から公園までの道のりを求めよ。
たかしくんの家から公園までをxmとする。
x75=930-x55+2
【答】600m
文章題 池の周り ≫湖の周りに1周4800mの道がある。たかし君とひろこさんが自転車で回る。たかし君の速さは時速15km, ひろこさんの速さは時速9kmである。二人が同時に同じ場所から出発して反対方向に回る場合、二人がはじめて出会うのは出発から何分後か。
出発してからの時間をx分とする。
250x+150x=4800
【答】12分後
【解説】求める時間の単位を分にすると,速さの単位も時速kmから分速mに直す必要がある。時速15kmは15×1000÷60=250 分速250m, 時速9kmは9×1000÷60=150 分速150mである。
反対方向に回る場合, 二人の走った道のりの和が1周の道のりに等しくなるときはじめて出会う。
道のり=速さ×時間なので
たかし君の走った道のり = 250x
ひろこさんの走った道のり = 150x
これらの和が1周の道のりに等しいので
250x+150x=4800
これを解くとx=12
文章題 割合 ≫姉と弟がアメを持っている。姉は弟に比べて12個多く持っていた。姉が弟に自分のアメの15%をあげたので二人のアメの数がちょうど同じになった。 アメは全部で何個あったか。
姉が持っていたアメをx個とする。
85100x=15100x+x-12
【答】68個
【解説】求めるものは全部のアメの数だが、割合15%のもとになる数が姉がはじめに持っていた数なのでそれをxにする。
はじめxx-12
移動- 15100x+ 15100x
あとx- 15100 xx-12 + 15100x
文章題 割引・割増 ≫ある品物を仕入れて、原価の6割の利益を見込んで定価をつけた。定価では全く売れなかったので定価の25%引きで売った。品物1個につき80円の利益になった。原価を求めよ。
原価をx円とする
75100×1610x=x+80
【答】400円
【解説】原価をx円とすると、原価の6割の利益を見込んだ定価は1610x円である。この定価の25%引きの売値は161075100 円となる。
売値 = 原価+利益 から式をつくる。
文章題 濃度 ≫ある品物を仕入れて、原価の8割の利益を見込んで定価をつけた。定価では全く売れなかったので250円引きで売った。品物1個につき70円の利益になった。原価を求めよ。
原価をx円とする
1810x-250=x+70
【答】400円
【解説】原価をx円とすると、原価の8割の利益を見込んでつけた定価は1810x円である。
売値はここか250円引いたものなので、(1810x-250)円となる。
売値 = 原価+利益から式をつくる
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小さい方の整数をxとする。
x+(x+1)=25
【答】12,13
【解説】整数は1ずつ大きくなるので、xの次はx+1である。よって連続する2つの自然数はxとx+1と表せる。
一の位の数をxとする。
x+10(12-x)+18=10x+12-x
【答】57
【解説】一の位と十の位の和が12なので、一の位がxなら十の位は(12-x)である。
2けたの自然数はx + 10(12-x)となり、一の位と十の位を入れ替えると10x + (12-x)となる。
子どもの人数をx人とする。
8x+22=11x-29
【答】158個
【解説】求めるものはアメの数だが、子どもの人数をxにしたほうが式がたてやすい。
x人に8個ずつ配ると8x, 22個あまるのでアメの数は8x+22
x人に11個ずつ配ると11x, 29個足りないのでアメの数は11x-29
8x+22と11x-29はどちらもアメの数を表しているので=(等号)で結べる。
8x+22 = 11x-29
これを解くとx=17
求めるものはアメの数なので 8x+22に代入して 8×17+22=158
男子の人数をx人とする。
60x+68(32-x)=64.5×32
【答】14人
【解説】32人のクラスで、男子の人数がx人なら、女子の人数は(32-x)人と表せる。また、平均点×人数=合計点なので
男子女子クラス
人数x32-x32
平均点606864.5
合計点60x68(32-x)64.5×32
男子の合計点 + 女子の合計点 = クラスの合計点 から方程式をつくる
花子さんが家を出てからの時間をx分とする。
45x=120(x-10)
【答】16分後 
【解説】花子さんが家を出てからの時間をx分とすると、母は10分後に家を出ているので、母の時間は花子さんより10分短い(x-10)分である。道のり=時間×速さなので
花子
速さ(m/分)45120
時間(分)xx-10
道のり(m)45x120(x-10)
追いつくときは、道のりが同じなので
花子の歩いた道のり = 母の歩いた道のり で式をつくる。
AB間の道のりをxmとする。
x75-x80=4
【答】4800m
【解説】往復では行きと帰りの道のりが同じなので、両方x ,時間 =道のり÷速さなので
 行き帰り
速さ(m/分)8075
時間(分)x80x75
道のり(m)xx
帰りのほうが4分長いので 帰りの時間 – 行きの時間 =4 となる。
たかしくんの家から公園までをxmとする。
x75=930-x55+2
【答】600m
出発してからの時間をx分とする。
250x+150x=4800
【答】12分後
【解説】求める時間の単位を分にすると,速さの単位も時速kmから分速mに直す必要がある。時速15kmは15×1000÷60=250 分速250m, 時速9kmは9×1000÷60=150 分速150mである。
反対方向に回る場合, 二人の走った道のりの和が1周の道のりに等しくなるときはじめて出会う。
道のり=速さ×時間なので
たかし君の走った道のり = 250x
ひろこさんの走った道のり = 150x
これらの和が1周の道のりに等しいので
250x+150x=4800
これを解くとx=12
姉が持っていたアメをx個とする。
85100x=15100x+x-12
【答】68個
【解説】求めるものは全部のアメの数だが、割合15%のもとになる数が姉がはじめに持っていた数なのでそれをxにする。
はじめxx-12
移動- 15100x+ 15100x
あとx- 15100 xx-12 + 15100x
原価をx円とする
75100×1610x=x+80
【答】400円
【解説】原価をx円とすると、原価の6割の利益を見込んだ定価は1610x円である。この定価の25%引きの売値は161075100 円となる。
売値 = 原価+利益 から式をつくる。
原価をx円とする
1810x-250=x+70
【答】400円
【解説】原価をx円とすると、原価の8割の利益を見込んでつけた定価は1810x円である。
売値はここか250円引いたものなので、(1810x-250)円となる。
売値 = 原価+利益から式をつくる
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