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中1 方程式の利用 演習

文章題 連続する整数 ≫連続する2つの偶数があり、その和は6である。この2つの偶数を求めよ。
小さい方の偶数をxとする。
x+(x+2)=6
【答】2,4
【解説】偶数は2,4,6,・・・と2ずつ大きくなるので、連続する2つの偶数はx, x+2と表せる。
文章題 2けたの自然数 ≫一の位の数が十の位の数のちょうど2倍になるような2けたの自然数がある。この2けたの自然数の一の位と十の位の数を入れ替えた数はもとの自然数より9大きくなる。もとの2けたの自然数を求めよ。
十の位の数をxとする。
20x+x-(2x+10x)=9
【答】12
【解説】一の位が十の位の2倍なので十の位の数をxとすると一の位は2xとなる。すると2けたの自然数は2x+10x、一の位と十の位を入れ替えた数は20x+xとなる。
文章題 過不足の問題 ≫子どもたちにアメを配る。一人に8個ずつ配ると22個あまり、一人に11個ずつ配ると29個足りない。アメの数を求めよ。
子どもの人数をx人とする。
8x+22=11x-29
【答】158個
【解説】求めるものはアメの数だが、子どもの人数をxにしたほうが式がたてやすい。
x人に8個ずつ配ると8x, 22個あまるのでアメの数は8x+22
x人に11個ずつ配ると11x, 29個足りないのでアメの数は11x-29
8x+22と11x-29はどちらもアメの数を表しているので=(等号)で結べる。
8x+22 = 11x-29
これを解くとx=17
求めるものはアメの数なので 8x+22に代入して 8×17+22=158
文章題 平均点の問題 ≫37人のクラスで女子の平均身長が134.1㎝、男子の平均身長が160㎝、クラス全体の平均身長が146㎝でした。女子の人数を求めよ。
女子の人数をx人とする。
134.1x+160(37-x)=146×37
【答】20人
【解説】32人のクラスで、男子の人数がx人なら、女子の人数は(32-x)人と表せる。また、平均点×人数=合計点なので
男子女子クラス
人数x32-x32
平均点606864.5
合計点60x68(32-x)64.5×32
男子の合計点 + 女子の合計点 = クラスの合計点 から方程式をつくる
文章題 速さ 追いつく1 ≫花子さんが家をでて毎分75mで歩いていった。その6分後に母が毎分100mで花子さんを追いかけた。母が花子さんに追いつくのは花子さんが家を出てから何分後か。
花子さんが家を出てからの時間をx分とする。
75x=100(x-6)
【答】24分後 
【解説】花子さんが家を出てからの時間をx分とすると、母は6分後に家を出ているので、母の時間は花子さんより6分短い(x-6)分である。道のり=時間×速さなので
花子
速さ(m/分)75100
時間(分)xx-6
道のり(m)75x100(x-6)
追いつくときは、道のりが同じなので
花子の歩いた道のり = 母の歩いた道のり で式をつくる。
文章題 速さ 往復 ≫2地点A、Bを往復する。行きは2時間かかり、帰りは行きの速さより毎時10kmだけおそくしたので2時間30分かかった。行きの速さは毎時何kmか。
行きの速さを毎時xkmとする。
2x=15060(x-10)
【答】毎時50km
【解説】帰りは行きより毎時10km遅いので、行きの速さをxkm/時とすると帰りは(x-10)km/時となる。2時間30分を時間に直すと15060時間, 道のり=時間×速さなので
 行き帰り
速さ(km/時)xx-10
時間(時間)215060
道のり(km)2x15060(x-10)
往復は行きと帰りの道のりが同じなので 行きの道のり = 帰りの道のりで式ができる。
文章題 速さが変わる問題 ≫太郎君の家から花子さんの家まで行く途中に公園がある。太郎君の家から公園までの距離は花子さんの家から公園までの距離より150m近い。ある日太郎君が花子さんの家まで行った。太郎君は自分の家から公園まで毎分80mで歩き、公園から花子さんの家までは毎分60mで歩いた。全部で27分かかった。太郎君の家から公園までは何mか。
太郎君の家から公園までの道のりをxmとする。
x80+x+15060=27
【答】840m
【解説】太郎家から公園をxmとすると花子家から公園はそれより150m遠いので(x+150)m、時間=道のり÷速さなので
 太郎家〜公園公園〜花子家
速さ(m/分)8060
時間(分)x80x+15060
道のり(m)xx+150
時間の合計が27分を使って式をつくる。
文章題 池の周り ≫湖の周りに1周40kmの道がある。兄と弟が自転車で回る。兄の速さは時速12km, 弟の速さは時速8kmである。二人が同時に同じ場所から出発して反対方向に回る場合、二人がはじめて出会うのは出発から何時間後か。
出発してからの時間をx時間とする。
12x+8x=40
【答】2時間後
【解説】反対方向に回る場合, 二人の走った道のりの和が1周の道のりに等しくなるときはじめて出会う。
道のり=速さ×時間なので
兄の走った道のり = 12x
弟の走った道のり = 8x
これらの和が1周の道のりに等しいので
12x+8x=40
これを解くとx=2
文章題 割合 ≫ある中学校の全生徒数は495人である。女子の人数が男子の人数の98%のとき、この中学校の女子の人数を求めよ。
男子の人数をx人とする
x+98100x=495
【答】245人
【解説】割合98%が男子の人数をもとにしているので、求めるものは女子でも男子の人数をxとして方程式をたてる。女子の人数は(495-x)人なので
方程式を解いて出た解x=250 をもちいて 495-250 =245 が答えになる。
文章題 割引・割増 ≫ある品物を仕入れて、原価の7割の利益を見込んで定価をつけた。定価では全く売れなかったので300円引きで売った。品物1個につき120円の利益になった。原価を求めよ。
原価をx円とする
1710x-300=x+120
【答】600円
【解説】原価をx円とすると、原価の5割の利益を見込んでつけた定価は1710x円である。
売値はここから300円引いたものなので、(1710x-300)円となる。
売値 = 原価+利益から式をつくる
文章題 濃度 ≫ある品物を仕入れて、原価の7割の利益を見込んで定価をつけた。定価では全く売れなかったので定価の4割引きで売った。品物1個につき10円の利益になった。原価を求めよ。
原価をx円とする
610×1710x=x+10
【答】500円
【解説】原価をx円とすると、原価の7割の利益を見込んだ定価は1710x円である。この定価の4割引きの売値は1710610 円となる。
売値 = 原価+利益 から式をつくる。
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小さい方の偶数をxとする。
x+(x+2)=6
【答】2,4
【解説】偶数は2,4,6,・・・と2ずつ大きくなるので、連続する2つの偶数はx, x+2と表せる。
十の位の数をxとする。
20x+x-(2x+10x)=9
【答】12
【解説】一の位が十の位の2倍なので十の位の数をxとすると一の位は2xとなる。すると2けたの自然数は2x+10x、一の位と十の位を入れ替えた数は20x+xとなる。
子どもの人数をx人とする。
8x+22=11x-29
【答】158個
【解説】求めるものはアメの数だが、子どもの人数をxにしたほうが式がたてやすい。
x人に8個ずつ配ると8x, 22個あまるのでアメの数は8x+22
x人に11個ずつ配ると11x, 29個足りないのでアメの数は11x-29
8x+22と11x-29はどちらもアメの数を表しているので=(等号)で結べる。
8x+22 = 11x-29
これを解くとx=17
求めるものはアメの数なので 8x+22に代入して 8×17+22=158
女子の人数をx人とする。
134.1x+160(37-x)=146×37
【答】20人
【解説】32人のクラスで、男子の人数がx人なら、女子の人数は(32-x)人と表せる。また、平均点×人数=合計点なので
男子女子クラス
人数x32-x32
平均点606864.5
合計点60x68(32-x)64.5×32
男子の合計点 + 女子の合計点 = クラスの合計点 から方程式をつくる
花子さんが家を出てからの時間をx分とする。
75x=100(x-6)
【答】24分後 
【解説】花子さんが家を出てからの時間をx分とすると、母は6分後に家を出ているので、母の時間は花子さんより6分短い(x-6)分である。道のり=時間×速さなので
花子
速さ(m/分)75100
時間(分)xx-6
道のり(m)75x100(x-6)
追いつくときは、道のりが同じなので
花子の歩いた道のり = 母の歩いた道のり で式をつくる。
行きの速さを毎時xkmとする。
2x=15060(x-10)
【答】毎時50km
【解説】帰りは行きより毎時10km遅いので、行きの速さをxkm/時とすると帰りは(x-10)km/時となる。2時間30分を時間に直すと15060時間, 道のり=時間×速さなので
 行き帰り
速さ(km/時)xx-10
時間(時間)215060
道のり(km)2x15060(x-10)
往復は行きと帰りの道のりが同じなので 行きの道のり = 帰りの道のりで式ができる。
太郎君の家から公園までの道のりをxmとする。
x80+x+15060=27
【答】840m
【解説】太郎家から公園をxmとすると花子家から公園はそれより150m遠いので(x+150)m、時間=道のり÷速さなので
 太郎家〜公園公園〜花子家
速さ(m/分)8060
時間(分)x80x+15060
道のり(m)xx+150
時間の合計が27分を使って式をつくる。
出発してからの時間をx時間とする。
12x+8x=40
【答】2時間後
【解説】反対方向に回る場合, 二人の走った道のりの和が1周の道のりに等しくなるときはじめて出会う。
道のり=速さ×時間なので
兄の走った道のり = 12x
弟の走った道のり = 8x
これらの和が1周の道のりに等しいので
12x+8x=40
これを解くとx=2
男子の人数をx人とする
x+98100x=495
【答】245人
【解説】割合98%が男子の人数をもとにしているので、求めるものは女子でも男子の人数をxとして方程式をたてる。女子の人数は(495-x)人なので
方程式を解いて出た解x=250 をもちいて 495-250 =245 が答えになる。
原価をx円とする
1710x-300=x+120
【答】600円
【解説】原価をx円とすると、原価の5割の利益を見込んでつけた定価は1710x円である。
売値はここから300円引いたものなので、(1710x-300)円となる。
売値 = 原価+利益から式をつくる
原価をx円とする
610×1710x=x+10
【答】500円
【解説】原価をx円とすると、原価の7割の利益を見込んだ定価は1710x円である。この定価の4割引きの売値は1710610 円となる。
売値 = 原価+利益 から式をつくる。
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