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中1 方程式の利用　演習

文章題　連続する整数 ≫連続する3つの整数があり、その和は15である。この3つの整数を求めよ。
中央のの整数をxとする。
(x-1)+x+(x+1)=15
【答】4,5,6
【解説】整数は１ずつ大きくなるので、xの次はx+1、xの前はx-1である。よって連続する３つの自然数はx-1, x, x+1と表せる。
文章題　２けたの自然数 ≫一の位の数が十の位の数のちょうど2倍になるような2けたの自然数がある。この2けたの自然数の一の位と十の位の数を入れ替えた数はもとの自然数より9大きくなる。もとの2けたの自然数を求めよ。
十の位の数をxとする。
20x+x-(2x+10x)=9
【答】12
【解説】一の位が十の位の2倍なので十の位の数をxとすると一の位は2xとなる。すると２けたの自然数は2x+10x、一の位と十の位を入れ替えた数は20x+xとなる。
文章題　過不足の問題 ≫あるクラスでクラス会をする。一人1500円ずつ集めると6600円足りない。一人2000円ずつ集めると8400円あまる。生徒の人数を求めよ。
生徒の人数をx人とする。
1500x+6600=2000x-8400
【答】30人
【解説】※「配る」ときと、この問題のように「集める」ときで「あまる」「足りない」の表し方が逆になることに注意。
1500円ずつあつめて6600円足りないので、集めた1500xにさらに6600円足して目標金額に達する。つまり目標金額は1500x+6600である。
また、2000円ずつ集めて8400円余るので、2000xから余った8400円を引くと目標額になる。つまり2000x-8400が目標金額である。
1500x+6600と2000x-8400はともに目標金額を表しているので=(等号)で結んで方程式となる。
文章題　平均点の問題 ≫ある学校の1年生は女子より男子のほうが10人多い。1年生全体の平均点が70点、男子の平均点が65点、女子の平均点が76点だった。男子の人数を求めよ。
男子の人数をx人とする。
65x+76(x-10)=70(2x-10)
【答】60人
【解説】女子より男子が2人多いので、男子がx人なら、女子は(x-2)人、クラスは(x+x-2)人である。
男子女子クラス
人数xx-22x-2
平均点6573.569
合計点65x73.5(x-2)69(2x-2)
男子の合計点 + 女子の合計点 = クラスの合計点から式をつくる。
文章題　速さ　追いつく1 ≫花子さんが家をでて毎分45mで歩いていった。その10分後に母が毎分120mで花子さんを追いかけた。母が花子さんに追いつくのは花子さんが家を出てから何分後か。
花子さんが家を出てからの時間をx分とする。
45x＝120(x-10)
【答】16分後　
【解説】花子さんが家を出てからの時間をx分とすると、母は10分後に家を出ているので、母の時間は花子さんより10分短い(x-10)分である。道のり=時間×速さなので
花子母
速さ(m/分)45120
時間(分)xx-10
道のり(m)45x120(x-10)
追いつくときは、道のりが同じなので
花子の歩いた道のり = 母の歩いた道のり で式をつくる。
文章題　速さ　往復 ≫A地点とB地点の間を自転車で往復した。行きは毎分240m、帰りは毎分180mで走ったら帰りのほうが15分多くかかった。AB間の道のりは何mか。
AB間の道のりをxmとする。
x180-x240=15
【答】10800m
【解説】往復では行きと帰りの道のりが同じなので、両方x ,時間 =道のり÷速さなので
　行き帰り
速さ(m/分)240180
時間(分)x240x180
道のり(m)xx
帰りのほうが15分長いので　帰りの時間 – 行きの時間 =15となる
文章題　速さが変わる問題 ≫家から駅まで2.1㎞ある。家を出てから途中までは毎分80mで歩き、残りは毎分65mで歩いた。 家を出てから30分で駅に着いた。速さを変えたのは家を出てから何分後か。
家を出てx分後に速さを変えたとする。
80x+65(30-x)=2100
【答】10分後
文章題　池の周り ≫湖の周りを1周する道がある。A君とB君がこの道を歩く。同じ地点から同時に出発して反対方向に回ると12分30秒後にはじめて出会い, 同じ方向に回ると43分45秒でA君がB君をはじめて追い越す。二人は常に一定の速さで歩くものとし, A君の速さはB君の速さより毎分32mだけ速い。このとき, A君とB君の速さはそれぞれ毎分何mか求めよ。
B君の速さを毎分xmとする。
252(x+32)+252x=1754(x+32)-1754x
【答】A君毎分72m, B君毎分40m
【解説】A君はB君より毎分32mだけ速いので,A君の速さは毎分(x+32)m
反対方向に回る場合,二人の走った道のりの和が1周の道のりに等しくなるときはじめて出会う。
12分30秒を分に直すと12+3060=252分なので
道のり=速さ×時間より
252(x+32)+252x=1周の道のり
同じ方向に回る場合,速いほうが1周差をつけたときにはじめて遅い方を追い越す。
43分45秒を分に直すと43+4560=1754分なので
1754(x+32)-1754x=1周のみちのり
252(x+32)+252xと1754(x+32)-1754xはともに1周の道のりを表すので=で結ぶと
252(x+32)+252x=1754(x+32)-1754x
これを解くとx=40これがB君の速さなのでA君の速さは40+32=72
文章題　割合 ≫全校生徒460人のうち、自転車通学の割合は男子が全男子数の3割で、女子は全女子数の2割である。 自転車通学の人数は男女合わせて116人である。この学校の全男子数を求めよ。
全男子数をx人とする
310x+210(460-x)=116
【答】240人
【解説】全男子数をx人とすると、全女子数は(460-x)人である。
自転車通学の男子は310x、女子は210(460-x)となる。
これらの合計が116となることから方程式をつくる。
文章題　割引・割増 ≫ある品物を仕入れて、原価の48%の利益を見込んで定価をつけた。定価では売れなかったので900円引きで売った。品物1個につき原価の12％の利益になった。原価を求めよ。
原価をx円とする
148100x-900=112100x
【答】2500円
【解説】原価をx円とすると原価の48%の利益を見込んでつけた定価は148100x円である。そこから900円引きで売った売値は(148100x-900)円となる。
また、原価の12%の利益になったとの記述から売値は 112100xとも表せる。2通りであらわした売値を=で結んで式をつくる。
文章題　濃度 ≫ 12%の食塩水が90gある。これに3%の食塩水と4%の食塩水を混ぜた結果, 6%の食塩水が320gできた。3%の食塩水と4%の食塩水はそれぞれ何gずつ混ぜたのか求めよ。【式】3%の食塩水をxg混ぜるとする
　10.8+3100x+4100(230-x)=19.2
【答】3%が80g, 4%が150g
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中央のの整数をxとする。
(x-1)+x+(x+1)=15
【答】4,5,6
【解説】整数は１ずつ大きくなるので、xの次はx+1、xの前はx-1である。よって連続する３つの自然数はx-1, x, x+1と表せる。
十の位の数をxとする。
20x+x-(2x+10x)=9
【答】12
【解説】一の位が十の位の2倍なので十の位の数をxとすると一の位は2xとなる。すると２けたの自然数は2x+10x、一の位と十の位を入れ替えた数は20x+xとなる。
生徒の人数をx人とする。
1500x+6600=2000x-8400
【答】30人
【解説】※「配る」ときと、この問題のように「集める」ときで「あまる」「足りない」の表し方が逆になることに注意。
1500円ずつあつめて6600円足りないので、集めた1500xにさらに6600円足して目標金額に達する。つまり目標金額は1500x+6600である。
また、2000円ずつ集めて8400円余るので、2000xから余った8400円を引くと目標額になる。つまり2000x-8400が目標金額である。
1500x+6600と2000x-8400はともに目標金額を表しているので=(等号)で結んで方程式となる。
男子の人数をx人とする。
65x+76(x-10)=70(2x-10)
【答】60人
【解説】女子より男子が2人多いので、男子がx人なら、女子は(x-2)人、クラスは(x+x-2)人である。
男子女子クラス
人数xx-22x-2
平均点6573.569
合計点65x73.5(x-2)69(2x-2)
男子の合計点 + 女子の合計点 = クラスの合計点から式をつくる。
花子さんが家を出てからの時間をx分とする。
45x＝120(x-10)
【答】16分後　
【解説】花子さんが家を出てからの時間をx分とすると、母は10分後に家を出ているので、母の時間は花子さんより10分短い(x-10)分である。道のり=時間×速さなので
花子母
速さ(m/分)45120
時間(分)xx-10
道のり(m)45x120(x-10)
追いつくときは、道のりが同じなので
花子の歩いた道のり = 母の歩いた道のり で式をつくる。
AB間の道のりをxmとする。
x180-x240=15
【答】10800m
【解説】往復では行きと帰りの道のりが同じなので、両方x ,時間 =道のり÷速さなので
　行き帰り
速さ(m/分)240180
時間(分)x240x180
道のり(m)xx
帰りのほうが15分長いので　帰りの時間 – 行きの時間 =15となる
家を出てx分後に速さを変えたとする。
80x+65(30-x)=2100
【答】10分後
B君の速さを毎分xmとする。
252(x+32)+252x=1754(x+32)-1754x
【答】A君毎分72m, B君毎分40m
【解説】A君はB君より毎分32mだけ速いので,A君の速さは毎分(x+32)m
反対方向に回る場合,二人の走った道のりの和が1周の道のりに等しくなるときはじめて出会う。
12分30秒を分に直すと12+3060=252分なので
道のり=速さ×時間より
252(x+32)+252x=1周の道のり
同じ方向に回る場合,速いほうが1周差をつけたときにはじめて遅い方を追い越す。
43分45秒を分に直すと43+4560=1754分なので
1754(x+32)-1754x=1周のみちのり
252(x+32)+252xと1754(x+32)-1754xはともに1周の道のりを表すので=で結ぶと
252(x+32)+252x=1754(x+32)-1754x
これを解くとx=40これがB君の速さなのでA君の速さは40+32=72
全男子数をx人とする
310x+210(460-x)=116
【答】240人
【解説】全男子数をx人とすると、全女子数は(460-x)人である。
自転車通学の男子は310x、女子は210(460-x)となる。
これらの合計が116となることから方程式をつくる。
原価をx円とする
148100x-900=112100x
【答】2500円
【解説】原価をx円とすると原価の48%の利益を見込んでつけた定価は148100x円である。そこから900円引きで売った売値は(148100x-900)円となる。
また、原価の12%の利益になったとの記述から売値は 112100xとも表せる。2通りであらわした売値を=で結んで式をつくる。
【式】3%の食塩水をxg混ぜるとする
　10.8+3100x+4100(230-x)=19.2
【答】3%が80g, 4%が150g
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