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中1 方程式の利用 演習

文章題 連続する整数 ≫連続する2つの奇数があり、その和は140である。この2つの奇数を求めよ。
小さい方の奇数をxとする。
x+(x+2)=140
【答】69,71
【解説】奇数は1,3,5,7・・・と2ずつ大きくなるので連続する2つの奇数はx, x+2と表せる。
文章題 2けたの自然数 ≫一の位の数が十の位の数のちょうど2倍になるような2けたの自然数がある。この2けたの自然数の一の位と十の位の数を入れ替えた数はもとの自然数より9大きくなる。もとの2けたの自然数を求めよ。
十の位の数をxとする。
20x+x-(2x+10x)=9
【答】12
【解説】一の位が十の位の2倍なので十の位の数をxとすると一の位は2xとなる。すると2けたの自然数は2x+10x、一の位と十の位を入れ替えた数は20x+xとなる。
文章題 過不足の問題 ≫クラス全員でお金を出し合って記念品を買う。一人300円ずつ集めると700円足りない、一人400円ずつ集めると2200円あまる。クラスの生徒数を求めよ。
クラスの人数をx人とする。
300x+700=400x-2200
【答】29人
【解説】
一人の費用300400
人数xx
集金額300x400x
過不足1200足りない1600あまる
全費用300x+700400x-2200

全費用は300x+1200と400x-2200の2通りで表せるのでこれらを=(等号)で結んで方程式にする。
文章題 平均点の問題 ≫32人のクラスがある。男子の平均点が60点、女子の平均点が68点で、クラス全体の平均点が64.5点だった。男子の人数を求めよ。
男子の人数をx人とする。
60x+68(32-x)=64.5×32
【答】14人
【解説】32人のクラスで、男子の人数がx人なら、女子の人数は(32-x)人と表せる。また、平均点×人数=合計点なので
男子女子クラス
人数x32-x32
平均点606864.5
合計点60x68(32-x)64.5×32
男子の合計点 + 女子の合計点 = クラスの合計点 から方程式をつくる
文章題 速さ 追いつく1 ≫花子さんが家をでて毎分45mで歩いていった。その10分後に母が毎分120mで花子さんを追いかけた。母が花子さんに追いつくのは花子さんが家を出てから何分後か。
花子さんが家を出てからの時間をx分とする。
45x=120(x-10)
【答】16分後 
【解説】花子さんが家を出てからの時間をx分とすると、母は10分後に家を出ているので、母の時間は花子さんより10分短い(x-10)分である。道のり=時間×速さなので
花子
速さ(m/分)45120
時間(分)xx-10
道のり(m)45x120(x-10)
追いつくときは、道のりが同じなので
花子の歩いた道のり = 母の歩いた道のり で式をつくる。
文章題 速さ 往復 ≫A町からB町までを往復した。行きは毎分80mで、帰りは毎分70mの速さで歩いたら往復にかかった時間は60分だった。A町からB町までの道のりは何mか。
A町からB町までをx mとする。
x80+x70=60
【答】2240m
【解説】往復では行きと帰りの道のりの長さは同じなので両方xm, 時間 = 道のり÷速さなので
 行き帰り
速さ(m/分)8070
時間(分)x80x70
道のり(m)xx
合計時間が60分なので、行きの時間+帰りの時間 =60 となる。
文章題 速さが変わる問題 ≫A君の家とB君の家は1.5㎞離れている。A君は9時に家を出てB君の家に向かった。B君は同じ道を9時5分に出てA君の家に向かった。A君が時速4㎞、B君が時速3㎞のとき二人の出会った時刻は9時何分か。
A君が家を出てからx分後に出会ったとする。
460x+360(x-5)=32
【答】9時15分
文章題 池の周り ≫池の周りに1周800mの道がある。兄と妹が同時に同じ場所から出発して同じ方向に歩く。兄は分速96m, 妹は分速64mの場合、はじめて兄が妹を追い越すのは出発から何分後か。
出発してからの時間をx分とする。
96x-64x=800
【答】25分後
【解説】同じ方向に回る場合,速いほうが1周差をつけたときにはじめて遅い方を追い越す。
この場合,兄と妹の歩いた道のりの差が800mになったときである。
道のり=速さ×時間なので
兄の歩いた道のり = 96x
妹の歩いた道のり=64x
これらの差が1周分なので
96x-64x=800
これを解くと
x=25
文章題 割合 ≫全校生徒460人のうち、自転車通学の割合は男子が全男子数の3割で、女子は全女子数の2割である。 自転車通学の人数は男女合わせて116人である。この学校の全男子数を求めよ。
全男子数をx人とする
310x+210(460-x)=116
【答】240人
【解説】全男子数をx人とすると、全女子数は(460-x)人である。
自転車通学の男子は310x、女子は210(460-x)となる。
これらの合計が116となることから方程式をつくる。
文章題 割引・割増 ≫ある品物を仕入れて、原価の7割の利益を見込んで定価をつけた。定価では全く売れなかったので定価の4割引きで売った。品物1個につき10円の利益になった。原価を求めよ。
原価をx円とする
610×1710x=x+10
【答】500円
【解説】原価をx円とすると、原価の7割の利益を見込んだ定価は1710x円である。この定価の4割引きの売値は1710610 円となる。
売値 = 原価+利益 から式をつくる。
文章題 濃度 ≫ 3%の食塩水と8%の食塩水を混ぜて5%の食塩水を1000g作りたい。3%の食塩水と8%の食塩水はそれぞれ何gずつ混ぜればよいか。 【式】3%の食塩水をxg混ぜるとする。
  3100x+8100(1000-x)=50
【答】3%が600g, 8%が400g
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小さい方の奇数をxとする。
x+(x+2)=140
【答】69,71
【解説】奇数は1,3,5,7・・・と2ずつ大きくなるので連続する2つの奇数はx, x+2と表せる。
十の位の数をxとする。
20x+x-(2x+10x)=9
【答】12
【解説】一の位が十の位の2倍なので十の位の数をxとすると一の位は2xとなる。すると2けたの自然数は2x+10x、一の位と十の位を入れ替えた数は20x+xとなる。
クラスの人数をx人とする。
300x+700=400x-2200
【答】29人
【解説】
一人の費用300400
人数xx
集金額300x400x
過不足1200足りない1600あまる
全費用300x+700400x-2200

全費用は300x+1200と400x-2200の2通りで表せるのでこれらを=(等号)で結んで方程式にする。
男子の人数をx人とする。
60x+68(32-x)=64.5×32
【答】14人
【解説】32人のクラスで、男子の人数がx人なら、女子の人数は(32-x)人と表せる。また、平均点×人数=合計点なので
男子女子クラス
人数x32-x32
平均点606864.5
合計点60x68(32-x)64.5×32
男子の合計点 + 女子の合計点 = クラスの合計点 から方程式をつくる
花子さんが家を出てからの時間をx分とする。
45x=120(x-10)
【答】16分後 
【解説】花子さんが家を出てからの時間をx分とすると、母は10分後に家を出ているので、母の時間は花子さんより10分短い(x-10)分である。道のり=時間×速さなので
花子
速さ(m/分)45120
時間(分)xx-10
道のり(m)45x120(x-10)
追いつくときは、道のりが同じなので
花子の歩いた道のり = 母の歩いた道のり で式をつくる。
A町からB町までをx mとする。
x80+x70=60
【答】2240m
【解説】往復では行きと帰りの道のりの長さは同じなので両方xm, 時間 = 道のり÷速さなので
 行き帰り
速さ(m/分)8070
時間(分)x80x70
道のり(m)xx
合計時間が60分なので、行きの時間+帰りの時間 =60 となる。
A君が家を出てからx分後に出会ったとする。
460x+360(x-5)=32
【答】9時15分
出発してからの時間をx分とする。
96x-64x=800
【答】25分後
【解説】同じ方向に回る場合,速いほうが1周差をつけたときにはじめて遅い方を追い越す。
この場合,兄と妹の歩いた道のりの差が800mになったときである。
道のり=速さ×時間なので
兄の歩いた道のり = 96x
妹の歩いた道のり=64x
これらの差が1周分なので
96x-64x=800
これを解くと
x=25
全男子数をx人とする
310x+210(460-x)=116
【答】240人
【解説】全男子数をx人とすると、全女子数は(460-x)人である。
自転車通学の男子は310x、女子は210(460-x)となる。
これらの合計が116となることから方程式をつくる。
原価をx円とする
610×1710x=x+10
【答】500円
【解説】原価をx円とすると、原価の7割の利益を見込んだ定価は1710x円である。この定価の4割引きの売値は1710610 円となる。
売値 = 原価+利益 から式をつくる。
【式】3%の食塩水をxg混ぜるとする。
  3100x+8100(1000-x)=50
【答】3%が600g, 8%が400g
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