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中1 方程式の利用 演習

文章題 連続する整数 ≫連続する2つの整数があり、その和は25である。この2つの整数を求めよ。
小さい方の整数をxとする。
x+(x+1)=25
【答】12,13
【解説】整数は1ずつ大きくなるので、xの次はx+1である。よって連続する2つの自然数はxとx+1と表せる。
文章題 2けたの自然数 ≫一の位の数と十の位の数との和が12となる2けたの自然数がある。この自然数の十の位と一の位の数を入れ替えた数はもとの数より18大きくなる。もとの2けたの自然数を求めよ。
一の位の数をxとする。
x+10(12-x)+18=10x+12-x
【答】57
【解説】一の位と十の位の和が12なので、一の位がxなら十の位は(12-x)である。
2けたの自然数はx + 10(12-x)となり、一の位と十の位を入れ替えると10x + (12-x)となる。
文章題 過不足の問題 ≫あるクラスでクラス会をする。一人1000円ずつ集めると1800円足りない。一人1200円ずつ集めると2600円あまる。クラス会にかかる費用を求めよ。
生徒の人数をx人とする。
1000x+1800=1200x-2600
【答】23800円
【解説】求めるものはクラス会の費用だが、人数をxとするほうが式をたてるのが容易である。
1000円ずつ集めて1800円たりないので、1000xに1800を足すと目標金額になる。つまり目標金額は1000x+1800(円)である。
1200円ずつ集めて2600円あまるので、1200xから余った金額を引いた1200x-2600(円)が目標金額となる。
1000x+1800=1200x-2600を解くとx=22となるが、求めるものはクラス会の費用なので1000x+1800に代入して 1000×22+1800 = 23800
文章題 平均点の問題 ≫男子17人、女子20人のクラスでクラス全体の平均点が77点だった。男子の平均点は女子の平均点より3.7点低かった。男子の平均点を求めよ。
男子の平均点をx点とする。
17x+20(x+3.7)=77×37
【答】75点
【解説】男子の平均点をx点とすると女子はそれより3.7点高いので(x+3.7)点である。
平均点×人数 = 合計点なので
男子女子クラス
人数172037
平均点xx+3.777
合計点17x20(x+3.7)77×37
男子の合計点+女子の合計点 = クラスの合計点 から方程式をつくる。
文章題 速さ 追いつく1 ≫太郎君が家を出発して毎分55mで歩いていった。太郎君が出発してから4分後に兄が毎分75mで追いかけた。兄が太郎君に追いつくのは、兄が家を出てから何分後か。
兄が家を出てからx分後に追いつくとする。
55(x+4)=75x
【答】11分後
【解説】兄が家を出てからの時間をx分とすると、兄は太郎くんの4分後に家を出ているので太郎くんの時間は兄より4分長い(x+4)分である。道のり=時間×速さなので
太郎
速さ(m/分)5575
時間(分)x+4x
道のり(m)55(x+4)75x
追いつくときは、道のりが同じなので
太郎の歩いた道のり = 兄の歩いた道のり で式をつくる。
文章題 速さ 往復 ≫A町からB町までの間を往復した。行きは時速40km、帰りは時速30kmで往復にかかった時間は4時間40分だった。A町からB町までの道のりは何kmか。
A町からB町までの道のりをxkmとする。
x40+x30=28060
【答】80km
【解説】往復は行きと帰りの道のりの長さは同じなので両方xkm,時間 = 道のり÷速さ より
 行き帰り
速さ(km/時)4030
時間(時間)x40x30
道のり(km)xx
合計時間が4時間40分を時間に直すと28060なので、行きの時間+帰りの時間 =28060 となる。
文章題 速さが変わる問題 ≫A君の家とB君の家は1.5㎞離れている。A君は9時に家を出てB君の家に向かった。B君は同じ道を9時5分に出てA君の家に向かった。A君が時速4㎞、B君が時速3㎞のとき二人の出会った時刻は9時何分か。
A君が家を出てからx分後に出会ったとする。
460x+360(x-5)=32
【答】9時15分
文章題 池の周り ≫1周2400mの円形の道を一郎くんと早紀さんが自転車で回る。一郎くんの速さは分速250m, 早紀さんの速さは分速150mである。二人が同時に同じ場所から出発して反対方向に回る場合、二人がはじめて出会うのは出発から何分後か。
出発してからの時間をx分とする。
250x+150x=2400
【答】6分後
【解説】反対方向に回る場合, 二人の走った道のりの和が1周の道のりに等しくなるときはじめて出会う。
道のり=速さ×時間なので
一郎くんの走った道のり = 250x
早紀さんの走った道のり = 150x
これらの和が1周の道のりに等しいので
250x+150x=2400
これを解くとx=6
文章題 割合 ≫姉と弟がアメを持っている。姉は弟に比べて18個多く持っていた。姉が弟に自分のアメの36%をあげたので二人のアメの数がちょうど同じになった。 アメは全部で何個あったか。
姉が持っていたアメをx個とする。
64100x=36100x+x-18
【答】32個
【解説】求めるものは全部のアメの数だが、割合36%のもとになる数が姉がはじめに持っていた数なのでそれをxにする。
姉がxだと,弟はそれより18個少ないので(x-18)個, 姉から36%減らして弟に36%増やす。
はじめのアメの数xx-18
アメの増減- 36100x+ 36100x
最終的なアメの数x- 36100 xx-18 + 36100x

最終的に姉と弟のアメの数が同じになったので =で結んで方程式にする。
文章題 割引・割増 ≫原価1200円の商品に定価をつけて、定価の2割引きで売ってもまだ原価の1割の利益があるようにしたい。定価をいくらにすればよいか。
定価をx円とする
810x=1110×1200
【答】1650円
文章題 濃度 ≫ 1%の食塩水が200gある。これに6%の食塩水と10%の食塩水を混ぜた結果, 5%の食塩水が600gできた。6%の食塩水と10%の食塩水はそれぞれ何gずつ混ぜたのか求めよ。 【式】6%の食塩水をxg混ぜるとする。
 2+6100x+10100(400-x)=30
【答】6%が300g, 10%が100g
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小さい方の整数をxとする。
x+(x+1)=25
【答】12,13
【解説】整数は1ずつ大きくなるので、xの次はx+1である。よって連続する2つの自然数はxとx+1と表せる。
一の位の数をxとする。
x+10(12-x)+18=10x+12-x
【答】57
【解説】一の位と十の位の和が12なので、一の位がxなら十の位は(12-x)である。
2けたの自然数はx + 10(12-x)となり、一の位と十の位を入れ替えると10x + (12-x)となる。
生徒の人数をx人とする。
1000x+1800=1200x-2600
【答】23800円
【解説】求めるものはクラス会の費用だが、人数をxとするほうが式をたてるのが容易である。
1000円ずつ集めて1800円たりないので、1000xに1800を足すと目標金額になる。つまり目標金額は1000x+1800(円)である。
1200円ずつ集めて2600円あまるので、1200xから余った金額を引いた1200x-2600(円)が目標金額となる。
1000x+1800=1200x-2600を解くとx=22となるが、求めるものはクラス会の費用なので1000x+1800に代入して 1000×22+1800 = 23800
男子の平均点をx点とする。
17x+20(x+3.7)=77×37
【答】75点
【解説】男子の平均点をx点とすると女子はそれより3.7点高いので(x+3.7)点である。
平均点×人数 = 合計点なので
男子女子クラス
人数172037
平均点xx+3.777
合計点17x20(x+3.7)77×37
男子の合計点+女子の合計点 = クラスの合計点 から方程式をつくる。
兄が家を出てからx分後に追いつくとする。
55(x+4)=75x
【答】11分後
【解説】兄が家を出てからの時間をx分とすると、兄は太郎くんの4分後に家を出ているので太郎くんの時間は兄より4分長い(x+4)分である。道のり=時間×速さなので
太郎
速さ(m/分)5575
時間(分)x+4x
道のり(m)55(x+4)75x
追いつくときは、道のりが同じなので
太郎の歩いた道のり = 兄の歩いた道のり で式をつくる。
A町からB町までの道のりをxkmとする。
x40+x30=28060
【答】80km
【解説】往復は行きと帰りの道のりの長さは同じなので両方xkm,時間 = 道のり÷速さ より
 行き帰り
速さ(km/時)4030
時間(時間)x40x30
道のり(km)xx
合計時間が4時間40分を時間に直すと28060なので、行きの時間+帰りの時間 =28060 となる。
A君が家を出てからx分後に出会ったとする。
460x+360(x-5)=32
【答】9時15分
出発してからの時間をx分とする。
250x+150x=2400
【答】6分後
【解説】反対方向に回る場合, 二人の走った道のりの和が1周の道のりに等しくなるときはじめて出会う。
道のり=速さ×時間なので
一郎くんの走った道のり = 250x
早紀さんの走った道のり = 150x
これらの和が1周の道のりに等しいので
250x+150x=2400
これを解くとx=6
姉が持っていたアメをx個とする。
64100x=36100x+x-18
【答】32個
【解説】求めるものは全部のアメの数だが、割合36%のもとになる数が姉がはじめに持っていた数なのでそれをxにする。
姉がxだと,弟はそれより18個少ないので(x-18)個, 姉から36%減らして弟に36%増やす。
はじめのアメの数xx-18
アメの増減- 36100x+ 36100x
最終的なアメの数x- 36100 xx-18 + 36100x

最終的に姉と弟のアメの数が同じになったので =で結んで方程式にする。
定価をx円とする
810x=1110×1200
【答】1650円
【式】6%の食塩水をxg混ぜるとする。
 2+6100x+10100(400-x)=30
【答】6%が300g, 10%が100g
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