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中1 方程式の利用 演習

文章題 連続する整数 ≫連続する2つの整数があり、その和は-29である。この2つの整数を求めよ。
小さい方の整数をxとする。
x+(x+1)=-29
【答】-15,-14
【解説】整数は1ずつ大きくなるので、xの次はx+1である。よって連続する2つの自然数はxとx+1と表せる。
文章題 2けたの自然数 ≫一の位の数と十の位の数との和が7となる2けたの自然数がある。この自然数の十の位と一の位の数を入れ替えた数はもとの数より9大きくなる。もとの2けたの自然数を求めよ。
一の位の数をxとする。
x+10(7-x)+9=10x+7-x
【答】34
【解説】一の位と十の位の和が7なので、一の位がxなら十の位は(7-x)である。
2けたの自然数はx + 10(7-x)となり、一の位と十の位を入れ替えると10x + (7-x)となる。
文章題 過不足の問題 ≫あるクラスでクラス会をする。一人600円ずつ集めると1500円足りない。一人800円ずつ集めると3100円あまる。生徒の人数を求めよ。
生徒の人数をx人とする。
600x+1500=800x-3100
【答】23人
【解説】※(アメなど)「配る」ときと、この問題のように「集める」ときで「あまる」「足りない」の表し方が逆になることに注意。
600円ずつあつめて1500円足りないので、集めた600xにさらに1500円足して目標金額に達する。つまり目標金額は600x+1500である。
また、800円ずつ集めて3100円余るので、800xから余った分を引くと目標額になる。つまり800x-3100が目標金額である。
600x+1500と800x-3100はともに目標金額を表しているので=(等号)で結んで方程式となる。
文章題 平均点の問題 ≫クラス39人全体の平均点が73点、女子20人の平均点が65.4点でした。男子の平均点を求めよ。
男子の平均点をx点とする。
20×65.4+19x=39×73
【答】81点
【解説】平均点×人数 = 合計点なので
男子女子クラス
人数201535
平均点x7167
合計点20x71×1567×35
男子の合計点+女子の合計点 = クラスの合計点 から方程式をつくる。
文章題 速さ 追いつく1 ≫太郎君が家を出発して毎分55mで歩いていった。太郎君が出発してから4分後に兄が毎分75mで追いかけた。兄が太郎君に追いつくのは、兄が家を出てから何分後か。
兄が家を出てからx分後に追いつくとする。
55(x+4)=75x
【答】11分後
【解説】兄が家を出てからの時間をx分とすると、兄は太郎くんの4分後に家を出ているので太郎くんの時間は兄より4分長い(x+4)分である。道のり=時間×速さなので
太郎
速さ(m/分)5575
時間(分)x+4x
道のり(m)55(x+4)75x
追いつくときは、道のりが同じなので
太郎の歩いた道のり = 兄の歩いた道のり で式をつくる。
文章題 速さ 往復 ≫A地点とB地点の間を往復した。行きは毎分70m、帰りは毎分50mで歩いたら帰りのほうが18分多くかかった。AB間の道のりは何mか。
AB間の道のりをxmとする。
x50-x70=18
【答】3150m
【解説】往復では行きと帰りの道のりが同じなので、両方x ,時間 =道のり÷速さなので
 行き帰り
速さ(m/分)7050
時間(分)x70x50
道のり(m)xx
帰りのほうが18分長いので 帰りの時間 – 行きの時間 =18
文章題 速さが変わる問題 ≫ひろし君の家から途中の公園を通って、まさる君の家まで1400mある。ある日2人が同時にそれぞれの家を出て公園へ行ったらひろし君のほうが2分遅く着いた。ひろし君は毎分80mで歩き、まさる君は毎分75mで歩いた。ひろし君の家から公園までの道のりは何mか。
ひろし君の家から公園までの道のりをxmとする。
x80=1400-x75+2
【答】800m
文章題 池の周り ≫池の周りを1周する道がある。A君とB君がこの道を自転車で走る。同じ地点から同時に出発して反対方向に回ると9分後にはじめて出会い, 同じ方向に回ると50分でA君がB君をはじめて追い越す。二人は常に一定の速さで走るものとし, A君の速さが毎分236mのとき, B君の速さは毎分何mか求めよ。
B君の速さを毎分xmとする。
9×236+9x=50×236-50x
【答】毎分164m
【解説】反対方向に回る場合, 二人の走った道のりの和が1周の道のりに等しくなるときはじめて出会う。
道のり=速さ×時間より
9×236+9x=1周の道のり
同じ方向に回る場合,速いほうが1周差をつけたときにはじめて遅い方を追い越すので
50×236-50x=1周のみちのり
9×236+9xと50×236-50xはともに1周の道のりを表すので = で結ぶと
9×236-9x=50×236-50x
これを解くとx=164
文章題 割合 ≫ある中学校では全校生徒の48%が女子である。男子の人数は女子の人数より13人多い。この学校の全校生徒の人数を求めよ。
全校生徒数をx人とする
52100x-48100x=13
【答】325人
【解説】女子が48%なので100-48=52%が男子である。全校生徒をx人とすると女子は48100x、男子は52100xとなる。男子が女子より13人多いので男子の人数-女子の人数=13で式をつくる。
文章題 割引・割増 ≫ある品物を仕入れて、原価の6割の利益を見込んで定価をつけた。定価では売れなかったので240円引きで売った。品物1個につき原価の4割の利益になった。原価を求めよ。
原価をx円とする
1610x-240=1410x
【答】1200円
【解説】原価をx円とすると原価の6割の利益を見込んでつけた定価は1610x円である。そこから240円引きで売った売値は(1610x-240)円となる。
また、原価の4割の利益になったとの記述から売値は 1410xとも表せる。2通りであらわした売値を=で結んで式をつくる。
文章題 濃度 ≫定価800円の商品を定価の1割引で売ったが、まだ原価の44%の利益があった。この商品の原価を求めよ。
原価をx円とする
800×910=144100x
【答】500円
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小さい方の整数をxとする。
x+(x+1)=-29
【答】-15,-14
【解説】整数は1ずつ大きくなるので、xの次はx+1である。よって連続する2つの自然数はxとx+1と表せる。
一の位の数をxとする。
x+10(7-x)+9=10x+7-x
【答】34
【解説】一の位と十の位の和が7なので、一の位がxなら十の位は(7-x)である。
2けたの自然数はx + 10(7-x)となり、一の位と十の位を入れ替えると10x + (7-x)となる。
生徒の人数をx人とする。
600x+1500=800x-3100
【答】23人
【解説】※(アメなど)「配る」ときと、この問題のように「集める」ときで「あまる」「足りない」の表し方が逆になることに注意。
600円ずつあつめて1500円足りないので、集めた600xにさらに1500円足して目標金額に達する。つまり目標金額は600x+1500である。
また、800円ずつ集めて3100円余るので、800xから余った分を引くと目標額になる。つまり800x-3100が目標金額である。
600x+1500と800x-3100はともに目標金額を表しているので=(等号)で結んで方程式となる。
男子の平均点をx点とする。
20×65.4+19x=39×73
【答】81点
【解説】平均点×人数 = 合計点なので
男子女子クラス
人数201535
平均点x7167
合計点20x71×1567×35
男子の合計点+女子の合計点 = クラスの合計点 から方程式をつくる。
兄が家を出てからx分後に追いつくとする。
55(x+4)=75x
【答】11分後
【解説】兄が家を出てからの時間をx分とすると、兄は太郎くんの4分後に家を出ているので太郎くんの時間は兄より4分長い(x+4)分である。道のり=時間×速さなので
太郎
速さ(m/分)5575
時間(分)x+4x
道のり(m)55(x+4)75x
追いつくときは、道のりが同じなので
太郎の歩いた道のり = 兄の歩いた道のり で式をつくる。
AB間の道のりをxmとする。
x50-x70=18
【答】3150m
【解説】往復では行きと帰りの道のりが同じなので、両方x ,時間 =道のり÷速さなので
 行き帰り
速さ(m/分)7050
時間(分)x70x50
道のり(m)xx
帰りのほうが18分長いので 帰りの時間 – 行きの時間 =18
ひろし君の家から公園までの道のりをxmとする。
x80=1400-x75+2
【答】800m
B君の速さを毎分xmとする。
9×236+9x=50×236-50x
【答】毎分164m
【解説】反対方向に回る場合, 二人の走った道のりの和が1周の道のりに等しくなるときはじめて出会う。
道のり=速さ×時間より
9×236+9x=1周の道のり
同じ方向に回る場合,速いほうが1周差をつけたときにはじめて遅い方を追い越すので
50×236-50x=1周のみちのり
9×236+9xと50×236-50xはともに1周の道のりを表すので = で結ぶと
9×236-9x=50×236-50x
これを解くとx=164
全校生徒数をx人とする
52100x-48100x=13
【答】325人
【解説】女子が48%なので100-48=52%が男子である。全校生徒をx人とすると女子は48100x、男子は52100xとなる。男子が女子より13人多いので男子の人数-女子の人数=13で式をつくる。
原価をx円とする
1610x-240=1410x
【答】1200円
【解説】原価をx円とすると原価の6割の利益を見込んでつけた定価は1610x円である。そこから240円引きで売った売値は(1610x-240)円となる。
また、原価の4割の利益になったとの記述から売値は 1410xとも表せる。2通りであらわした売値を=で結んで式をつくる。
原価をx円とする
800×910=144100x
【答】500円
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