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中1 方程式の利用 演習

文章題 連続する整数 ≫連続する2つの奇数があり、その和は140である。この2つの奇数を求めよ。
小さい方の奇数をxとする。
x+(x+2)=140
【答】69,71
【解説】奇数は1,3,5,7・・・と2ずつ大きくなるので連続する2つの奇数はx, x+2と表せる。
文章題 2けたの自然数 ≫一の位の数が十の位の数より7大きい2けたの自然数がある。この自然数の一の位の数と十の位の数を入れ替えた数をもとの数にたすと99になる。もとの自然数を求めよ。
一の位の数をxとする。
x+10(x-7)+10x+x-7=99
【答】18
【解説】一の位が十の位より7大きいので、一の位がxなら十の位は(x-7)である。
2けたの自然数はx + 10(x-7)となり、一の位と十の位を入れ替えると10x + (x-7)となる。
文章題 過不足の問題 ≫何人かの子どもにアメを配る。一人に5個ずつ配ると14個あまり、一人に6個ずつ配ると10個足りない。アメの数を求めよ。
子どもの人数をxとする。
5x+14=6x-10
【答】134個
【解説】求めるものはアメの数だが、こどもの人数をxとしたほうが式がたてやすい。
一人の
個数
56
人数xx
配る数5x6x
過不足+14-10
アメの
全個数
5x+146x-10
アメの全個数は同じものを表すので=(等号)で結べば方程式になる。
方程式を解いてx=24となるが、求めるものがアメのかずなので 5x+14に代入して 5×24+14=134
よって答が134個となる。
文章題 平均点の問題 ≫女子より男子のほうが2人多いクラスがある。このクラスの平均点が69点、男子の平均点が65点、女子の平均点が73.5点だった。クラスの男子の人数を求めよ。
男子の人数をx人とする。
65x+73.5(x-2)=69(2x-2)
【答】18人
【解説】女子より男子が2人多いので、男子がx人なら、女子は(x-2)人、クラスは(x+x-2)人である。
男子女子クラス
人数xx-22x-2
平均点6573.569
合計点65x73.5(x-2)69(2x-2)
男子の合計点 + 女子の合計点 = クラスの合計点から式をつくる。
文章題 速さ 追いつく1 ≫花子さんが家をでて毎分45mで歩いていった。その10分後に母が毎分120mで花子さんを追いかけた。母が花子さんに追いつくのは花子さんが家を出てから何分後か。
花子さんが家を出てからの時間をx分とする。
45x=120(x-10)
【答】16分後 
【解説】花子さんが家を出てからの時間をx分とすると、母は10分後に家を出ているので、母の時間は花子さんより10分短い(x-10)分である。道のり=時間×速さなので
花子
速さ(m/分)45120
時間(分)xx-10
道のり(m)45x120(x-10)
追いつくときは、道のりが同じなので
花子の歩いた道のり = 母の歩いた道のり で式をつくる。
文章題 速さ 往復 ≫2地点A、Bを往復する。行きは40分かかり、帰りは行きの速さより毎分20mだけおそくしたので50分かかった。行きの速さは毎分何mか。
行きの速さを毎分xmとする。
40x=50(x-20)
【答】毎分100m
【解説】帰りは行きより毎分20m遅いので、行きの速さをxm/分とすると帰りは(x-20)m/分となる。道のり=時間×速さなので
 行き帰り
速さ(m/分)xx-20
時間(分)4050
道のり(m)40x50(x-20)
往復は行きと帰りの道のりが同じなので 行きの道のり = 帰りの道のりで式ができる。
文章題 速さが変わる問題 ≫A君が家から1600m離れた駅まで行った。自転車で7分走ったところでパンクしたため、そこから5分歩いて駅まで行った。自転車の速さは毎分何mか。ただし、自転車の速さは歩く速さより毎分100m速いとする。
自転車の速さを毎分xmとする。
7x+5(x-100)=1600
【答】毎分175m
文章題 池の周り ≫池の周りに1周2kmの道がある。兄と妹が同時に同じ場所から出発して同じ方向に歩く。兄は時速4km, 妹は時速3kmの場合、はじめて兄が妹を追い越すのは出発から何時間後か。
出発してからの時間をx時間とする。
4x-3x=2
【答】2時間後
【解説】同じ方向に回る場合,速いほうが1周差をつけたときにはじめて遅い方を追い越す。
この場合,兄と妹の歩いた道のりの差が2kmになったときである。
道のり=速さ×時間なので
兄の歩いた道のり = 4x
妹の歩いた道のり=3x
これらの差が1周分なので
4x-3x=2
これを解くと
x=2
文章題 割合 ≫姉と弟がアメを持っている。姉は弟に比べて16個多く持っていた。姉が弟に自分のアメの10%をあげたので二人のアメの数がちょうど同じになった。 アメは全部で何個あったか。
姉が持っていたアメをx個とする。
90100x=10100x+x-16
【答】144個
【解説】求めるものは全部のアメの数だが、割合10%のもとになる数が姉がはじめに持っていた数なのでそれをxにする。
姉がxだと,弟はそれより16個少ないので(x-16)個, 姉から10%減らして弟に10%増やす。
はじめのアメの数xx-16
アメの増減- 10100x+ 10100x
最終的なアメの数x- 10100 xx-16 + 10100x

最終的に姉と弟のアメの数が同じになったので =で結んで方程式にする。
文章題 割引・割増 ≫ある品物を仕入れて、原価の48%の利益を見込んで定価をつけた。定価では売れなかったので900円引きで売った。品物1個につき原価の12%の利益になった。原価を求めよ。
原価をx円とする
148100x-900=112100x
【答】2500円
【解説】原価をx円とすると原価の48%の利益を見込んでつけた定価は148100x円である。そこから900円引きで売った売値は(148100x-900)円となる。
また、原価の12%の利益になったとの記述から売値は 112100xとも表せる。2通りであらわした売値を=で結んで式をつくる。
文章題 濃度 ≫ 1%の食塩水が200gある。これに6%の食塩水と10%の食塩水を混ぜた結果, 5%の食塩水が600gできた。6%の食塩水と10%の食塩水はそれぞれ何gずつ混ぜたのか求めよ。 【式】6%の食塩水をxg混ぜるとする。
 2+6100x+10100(400-x)=30
【答】6%が300g, 10%が100g
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小さい方の奇数をxとする。
x+(x+2)=140
【答】69,71
【解説】奇数は1,3,5,7・・・と2ずつ大きくなるので連続する2つの奇数はx, x+2と表せる。
一の位の数をxとする。
x+10(x-7)+10x+x-7=99
【答】18
【解説】一の位が十の位より7大きいので、一の位がxなら十の位は(x-7)である。
2けたの自然数はx + 10(x-7)となり、一の位と十の位を入れ替えると10x + (x-7)となる。
子どもの人数をxとする。
5x+14=6x-10
【答】134個
【解説】求めるものはアメの数だが、こどもの人数をxとしたほうが式がたてやすい。
一人の
個数
56
人数xx
配る数5x6x
過不足+14-10
アメの
全個数
5x+146x-10
アメの全個数は同じものを表すので=(等号)で結べば方程式になる。
方程式を解いてx=24となるが、求めるものがアメのかずなので 5x+14に代入して 5×24+14=134
よって答が134個となる。
男子の人数をx人とする。
65x+73.5(x-2)=69(2x-2)
【答】18人
【解説】女子より男子が2人多いので、男子がx人なら、女子は(x-2)人、クラスは(x+x-2)人である。
男子女子クラス
人数xx-22x-2
平均点6573.569
合計点65x73.5(x-2)69(2x-2)
男子の合計点 + 女子の合計点 = クラスの合計点から式をつくる。
花子さんが家を出てからの時間をx分とする。
45x=120(x-10)
【答】16分後 
【解説】花子さんが家を出てからの時間をx分とすると、母は10分後に家を出ているので、母の時間は花子さんより10分短い(x-10)分である。道のり=時間×速さなので
花子
速さ(m/分)45120
時間(分)xx-10
道のり(m)45x120(x-10)
追いつくときは、道のりが同じなので
花子の歩いた道のり = 母の歩いた道のり で式をつくる。
行きの速さを毎分xmとする。
40x=50(x-20)
【答】毎分100m
【解説】帰りは行きより毎分20m遅いので、行きの速さをxm/分とすると帰りは(x-20)m/分となる。道のり=時間×速さなので
 行き帰り
速さ(m/分)xx-20
時間(分)4050
道のり(m)40x50(x-20)
往復は行きと帰りの道のりが同じなので 行きの道のり = 帰りの道のりで式ができる。
自転車の速さを毎分xmとする。
7x+5(x-100)=1600
【答】毎分175m
出発してからの時間をx時間とする。
4x-3x=2
【答】2時間後
【解説】同じ方向に回る場合,速いほうが1周差をつけたときにはじめて遅い方を追い越す。
この場合,兄と妹の歩いた道のりの差が2kmになったときである。
道のり=速さ×時間なので
兄の歩いた道のり = 4x
妹の歩いた道のり=3x
これらの差が1周分なので
4x-3x=2
これを解くと
x=2
姉が持っていたアメをx個とする。
90100x=10100x+x-16
【答】144個
【解説】求めるものは全部のアメの数だが、割合10%のもとになる数が姉がはじめに持っていた数なのでそれをxにする。
姉がxだと,弟はそれより16個少ないので(x-16)個, 姉から10%減らして弟に10%増やす。
はじめのアメの数xx-16
アメの増減- 10100x+ 10100x
最終的なアメの数x- 10100 xx-16 + 10100x

最終的に姉と弟のアメの数が同じになったので =で結んで方程式にする。
原価をx円とする
148100x-900=112100x
【答】2500円
【解説】原価をx円とすると原価の48%の利益を見込んでつけた定価は148100x円である。そこから900円引きで売った売値は(148100x-900)円となる。
また、原価の12%の利益になったとの記述から売値は 112100xとも表せる。2通りであらわした売値を=で結んで式をつくる。
【式】6%の食塩水をxg混ぜるとする。
 2+6100x+10100(400-x)=30
【答】6%が300g, 10%が100g
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